Σωκράτης: Ψάχνεις κάποιον, αγαπητέ μου Ιπποκράτη;
Ιπποκράτης: Όχι, Σωκράτη, διότι τον έχω ήδη βρει, και συγκεκριμένα εσένα. Σε έψαχνα παντού. Κάποιος μου είπε στην αγορά ότι σε είδε να περπατάς εδώ κατά μήκος του ποταμού Ιλισού, επομένως σε ακολούθησα.
Σωκράτης: Καλώς τότε, πες μου γιατί ήρθες και μετά θέλω να σε ρωτήσω κάτι σχετικά με τη συζήτησή μας με τον Πρωταγόρα. Τη θυμάσαι ακόμα;
Ιπποκράτης: Πως μπορείς και ρωτάς; Από εκείνη τη φορά δεν έχει περάσει ούτε μία μέρα που να μην το σκέφτομαι. Σήμερα ήρθα για να ζητήσω τη συμβουλή σου, διότι αυτή η συζήτηση ήταν στο μυαλό μου.
Σωκράτης: Φαίνεται, αγαπητέ μου Ιπποκράτη, ότι θες να μου μιλήσεις για την ίδια ερώτηση που θέλω να συζητήσω μαζί σου. Έτσι τα δύο θέματα είναι ένα και το αυτό. Φαίνεται πως οι μαθηματικοί κάνουν λάθος όταν λένε ότι το δύο δεν είναι ποτέ ίσο με το ένα.
Ιπποκράτης: Στην πραγματικότητα, Σωκράτη, τα μαθηματικά είναι ακριβώς το θέμα για το οποίο θέλω να σου μιλήσω.
Σωκράτης: Ιπποκράτη, σίγουρα ξέρεις ότι δεν είμαι μαθηματικός. Γιατί δεν απευθύνεις τις ερωτήσεις σου στον περίφημο Θεόδωρο;
Ιπποκράτης: Είσαι καταπληκτικός, Σωκράτη, απαντάς τις ερωτήσεις μου πριν καν στις απευθύνω. Ήρθα να ζητήσω τη γνώμη σου σχετικά με το να γίνω μαθητής του Θεόδωρου. Όταν ήρθα σε σένα την τελευταία φορά, με σκοπό να γίνω μαθητής του Πρωταγόρα, πήγαμε μαζί σε αυτόν και καθοδήγησες τη συζήτηση έτσι που έγινε αρκετά σαφές ότι δεν γνώριζε το αντικείμενο που δίδασκε. Έτσι άλλαξα γνώμη και δεν τον ακολούθησα. Αυτή η συζήτηση με βοήθησε να δω τι δεν θα έπρεπε να κάνω, αλλά δεν μου έδειξε τι θα έπρεπε να κάνω. Ακόμα αναρωτιέμαι. Επισκέπτομαι συμπόσια και την παλαίστρα με συνομηλίκους μου νεαρούς, τολμώ να πω ότι περνάω καλά, αλλά αυτό δεν με ικανοποιεί. Με ενοχλεί να αισθάνομαι ανίδεος. Πιο συγκεκριμένα, πιστεύω ότι η γνώση που έχω είναι μάλλον αβέβαιη. Κατά τη διάρκεια της συζήτησης με τον Πρωταγόρα, συνειδητοποίησα ότι η γνώση μου σε γνωστές έννοιες όπως η αρετή, η δικαιοσύνη και το θάρρος δεν ήταν καθόλου ικανοποιητική. Ωστόσο, νομίζω πως είναι μεγάλη πρόοδος το ότι τώρα βλέπω καθαρά την άγνοιά μου.
Σωκράτης: Χαίρομαι, αγαπητέ μου Ιπποκράτη, που με καταλαβαίνεις τόσο καλά. Πάντα λέω στον εαυτό μου ειλικρινά πως δεν ξέρω τίποτα. Η διαφορά ανάμεσα σε εμένα και τους περισσότερους άλλους είναι ότι δεν φαντάζομαι πως ξέρω ό,τι στην πραγματικότητα δεν ξέρω.
Ιπποκράτης: Αυτό δείχνει ξεκάθαρα τη σοφία σου, Σωκράτη. Αλλά αυτή η γνώση δεν είναι αρκετή για μένα. Έχω μία έντονη επιθυμία να αποκτήσω κάποια συγκεκριμένη και σταθερή γνώση, και δεν θα είμαι ευτυχισμένος μέχρι να το κάνω. Συνεχώς αναρωτιέμαι τι είδους γνώση πρέπει να προσπαθήσω να αποκτήσω. Πρόσφατα, ο Θεαίτητος μου είπε ότι η βεβαιότητα υπάρχει μόνο στα μαθηματικά και πρότεινε να μάθω μαθηματικά από τον μέντορά του, τον Θεόδωρο, ο οποίος είναι ο κορυφαίος στους αριθμούς και στην γεωμετρία στην Αθήνα. Τώρα, δεν θα ήθελα να κάνω το ίδιο λάθος που έκανα όταν ήθελα να γίνω μαθητής του Πρωταγόρα. Γι’ αυτό πες μου, Σωκράτη, θα βρω το είδος της γνώσης που ψάχνω αν μάθω μαθηματικά από τον Θεόδωρο;
Σωκράτης: Αν θες να μελετήσεις μαθηματικά, γιε του Απολλόδωρου, τότε σίγουρα δεν έχεις κάτι καλύτερο να κάνεις από το να πας στο φίλο μου τον Θεόδωρο, που τον έχω σε μεγάλη εκτίμηση. Αλλά πρέπει να αποφασίσεις αν θες πραγματικά να μελετήσεις μαθηματικά ή όχι. Κανείς δεν μπορεί να ξέρει τις ανάγκες σου καλύτερα από εσένα.
Ιπποκράτης: Γιατί αρνείσαι να με βοηθήσεις Σωκράτη; Μήπως σε προσέβαλα χωρίς να το καταλάβω;
Σωκράτης: Δεν με κατάλαβες, νεαρέ μου φίλε. Δεν είμαι θυμωμένος, αλλά μου ζητάς το απίθανο. Ο καθένας πρέπει να αποφασίζει για τον εαυτό του τι θέλει να κάνει. Δεν μπορώ να κάνω κάτι περισσότερο από το να σε βοηθήσω σαν μαία στη γέννηση της απόφασής σου.
Ιπποκράτης: Σε παρακαλώ, αγαπητέ μου Σωκράτη, μην αρνείσαι να με βοηθήσεις και αν δεν έχεις κάτι να κάνεις τώρα, ας ξεκινήσουμε άμεσα.
Σωκράτης: Εντάξει, αφού το θες. Ας καθίσουμε κάτω από τη σκιά αυτού του πλατάνου και ας ξεκινήσουμε. Αλλά πρώτα πες μου, είσαι έτοιμος να κάνεις τη συζήτηση με τον τρόπο που προτιμώ; Πρέπει να κάνω τις ερωτήσεις και εσύ πρέπει να τις απαντάς. Με αυτή τη μεθοδο θα μπορέσεις να δεις πιο καθαρά ό,τι ήδη γνωρίζεις, γιατί αυτή φέρνει στο άνθος τους σπόρους της γνώσης που ήδη υπάρχουν στην ψυχή σου. Ελπίζω ότι δεν θα συμπεριφερθείς σαν τον βασιλιά Δαρείο ο οποίος σκότωσε τον επικεφαλής των ορυχείων του επειδή έφερε μόνο χαλκό, ενώ ο βασιλιάς θεωρούσε πως περιείχε και χρυσό. Ελπίζω να μην ξεχάσεις ότι ο ανθρακωρύχος μπορεί να βρει σε ένα ορυχείο μόνο ό,τι αυτό περιέχει.
Ιπποκράτης: Ορκίζομαι ότι δεν θα κάνω καμία παρέμβαση, αλλά, μα το Δία, ας ξεκινήσουμε να εξορύσσουμε αμέσως.
Σωκράτης: Εντάξει. Πες μου λοιπόν, ξέρεις τι είναι τα μαθηματικά; Υποθέτω πως μπορείς να τα ορίσεις, αφού θέλεις να τα μελετήσεις.
Ιπποκράτης: Νομίζω ότι κάθε παιδί θα μπορούσε να το κάνει. Τα μαθηματικά είναι μία από τις επιστήμες και μάλιστα μία από τις ομορφότερες.
Σωκράτης: Δεν σου ζήτησα να επαινέσεις τα μαθηματικά, αλλά να περιγράψεις τη φύση τους. Για παράδειγμα, αν σε ρωτούσα για την τέχνη των γιατρών, θα μου απαντούσες ότι αυτή η τέχνη ασχολείται με την υγεία και τις αρρώστιες και έχει σαν σκοπό να θεραπεύει τους αρρώστους και να διατηρεί την υγεία. Σωστά;
Ιπποκράτης: Βεβαίως.
Σωκράτης: Απάντησέ μου, λοιπόν, σε αυτό. Η ιατρική ασχολείται με κάτι που υπάρχει ή με κάτι που δεν υπάρχει; Αν δεν υπήρχαν γιατροί, θα εξακολουθούσε να υπάρχει η αρρώστια;
Ιπποκράτης: Βεβαίως, και μάλιστα περισσότερο απ’ όσο τώρα.
Σωκράτης: Ας ρίξουμε μια ματιά σε μια άλλη τέχνη, ας πούμε στην αστρονομία. Συμφωνείς μαζί μου ότι οι αστρονόμοι μελετούν την κίνηση των άστρων;
Ιπποκράτης: Σίγουρα.
Σωκράτης: Και αν σε ρωτήσω αν η αστρονομία ασχολείται με κάτι που υπάρχει, τι θα μου απαντήσεις;
Ιπποκράτης: Η απάντησή μου θα είναι “ναι”
Σωκράτης: Θα υπήρχαν τα άστρα αν δεν υπήρχαν αστρονόμοι στον κόσμο;
Ιπποκράτης: Φυσικά. Και αν ο Δίας πάνω στο θυμό του εξαφάνιζε όλο το ανθρώπινο είδος, τα άστρα θα συνέχιζαν να λάμπουν στον ουρανό τη νύχτα. Αλλά γιατί μιλάμε για την αστρονομία αντί για τα μαθηματικά;
Σωκράτης: Μην είσαι ανυπόμονος καλέ μου φίλε. Ας σκεφτούμε μερικές άλλες τέχνες ώστε να τις συγκρίνουμε με τα μαθηματικά. Πως θα περιέγραφες τον άνθρωπο που γνωρίζει για όλα τα πλάσματα που ζουν στα δάση ή στα βάθη της θάλασσας;
Ιπποκράτης: Θα έλεγα πως είναι ένας επιστήμονας που μελετά τη ζωντανή φύση.
Σωκράτης: Και συμφωνείς πως ένας τέτοιος άνθρωπος μελετά πράγματα που υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Συμφωνώ.
Σωκράτης: Και αν έλεγα πως κάθε τέχνη ασχολείται με πράγματα που υπάρχουν, θα συμφωνούσες;
Ιπποκράτης: Εντελώς.
Σωκράτης: Τώρα πες μου, νεαρέ μου φίλε, ποιο είναι το αντικείμενο των μαθηματικών; Τι πράγματα μελετά ένας μαθηματικός;
Ιπποκράτης: Έκανα στο Θεαίτητο την ίδια ερώτηση. Μου απάντησε πως ο μαθηματικός μελετά νούμερα και γεωμετρικές μορφές.
Σωκράτης: Εντάξει, η απάντηση είναι σωστή, αλλά εσύ θα έλεγες πως αυτά τα πράγματα υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Φυσικά. Πως θα μπορούσαμε να μιλάμε για αυτά αν δεν υπήρχαν;
Σωκράτης: Τότε λοιπόν πες μου, αν δεν υπήρχαν μαθηματικοί, θα υπήρχαν οι πρώτοι αριθμοί; Και αν ναι, που θα υπήρχαν;
Ιπποκράτης: Πραγματικά δεν ξέρω τι να απαντήσω. Προφανώς, αν οι μαθηματικοί σκέφτονται τους πρώτους αριθμούς, τότε αυτοί υπάρχουν στη συνείδησή τους. Αλλά αν δεν υπήρχαν μαθηματικοί, τότε οι πρώτοι αριθμοί δεν θα υπήρχαν πουθενά.
Σωκράτης: Εννοείς ότι πρέπει να πούμε πως οι μαθηματικοί μελετούν πράγματα που δεν υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Ναι, νομίζω πως πρέπει να το παραδεχτούμε.
Σωκράτης: Ας δούμε την ερώτηση από μια άλλη σκοπιά. Έγραψα εδώ, σε αυτή την πλάκα από κερί, τον αριθμό 37.Το βλέπεις;
Ιπποκράτης: Ναι
Σωκράτης: Και μπορείς να τον αγγίξεις με το χέρι σου;
Ιπποκράτης: Φυσικά.
Σωκράτης: Τότε μήπως οι αριθμοί όντως υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Σωκράτη με κοροϊδεύεις. Κοίτα εδώ, έχω σχεδιάσει στην ίδια πλάκα ένα δράκο με επτά κεφάλια. Αυτό σημαίνει πως υπάρχει ένας τέτοιος δράκος; Δεν έχω γνωρίσει κάποιον που να έχει δει ένα δράκο και είμαι πεπεισμένος πως οι δράκοι δεν υπάρχουν καθόλου, παρά μόνο στα παραμύθια. Αλλά και αν υποθέσουμε ότι κάνω λάθος, ότι κάπου πέρα από τις Ηράκλειες στήλες πραγματικά υπάρχουν δράκοι, αυτό δεν έχει σε τίποτα να κάνει με τη ζωγραφιά μου.
Σωκράτης: Μιλάς σωστά Ιπποκράτη και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. Αλλά αυτό σημαίνει ότι αν και μπορούμε να μιλάμε για τους αριθμούς και να τους γράφουμε, αυτοί δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα;
Ιπποκράτης: Ασφαλώς.
Σωκράτης: Μη βγάζεις βιαστικά συμπεράσματα. Ας κάνουμε άλλη μια δοκιμή. Έχω δίκιο όταν λέω ότι μπορούμε να μετρήσουμε τα πρόβατα σε αυτό το λιβάδι ή τα πλοία στο λιμάνι του Πειραιά;
Ιπποκράτης: Ναι, μπορούμε.
Σωκράτης: Και τα πρόβατα και τα πλοία υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Προφανώς.
Σωκράτης: Αλλά αν τα πρόβατα υπάρχουν, τότε και ο αριθμός τους δεν πρέπει να είναι επίσης κάτι που υπάρχει;
Ιπποκράτης: Με κοροϊδεύεις Σωκράτη. Οι μαθηματικοί δεν μετράνε πρόβατα, αυτό είναι δουλειά των βοσκών.
Σωκράτης: Εννοείς ότι αυτό που μελετούν οι μαθηματικοί δεν είναι ο αριθμός των προβάτων ή των πλοίων ή άλλων πραγμάτων που υπάρχουν, αλλά ο αριθμός αυτός καθ’ αυτός; Και έτσι ενδιαφέρονται για κάτι που υπάρχει μόνο στο μυαλό τους;
Ιπποκράτης: Ναι, αυτό εννοώ.
Σωκράτης: Μου είπες ότι σύμφωνα με τον Θεαίτητο, οι μαθηματικοί μελετούν αριθμούς και γεωμετρικά σχήματα. Ποια είναι η γνώμη σου για τα σχήματα; Αν σε ρωτήσω αν υπάρχουν, τι θα μου απαντήσεις;
Ιπποκράτης: Φυσικά υπάρχουν. Μπορούμε για παράδειγμα να δούμε το σχήμα ενός ωραίου αγγείου και να το αισθανθούμε με τα χέρια μας.
Σωκράτης: Ναι αλλά έχω ακόμα μια δυσκολία. Αν κοιτάξεις ένα αγγείο τι βλέπεις, το αγγείο ή το σχήμα του;
Ιπποκράτης: Και τα δύο.
Σωκράτης: Είναι το ίδιο όπως βλέπεις ένα αρνί; Βλέπεις και το αρνί και το μαλλί του;
Ιπποκράτης: Βρίσκω την παρομοίωση πολύ εύστοχη.
Σωκράτης: Λοιπόν, νομίζω ότι αυτό κουτσαίνει σαν τον Ήφαιστο. Μπορείς να κόψεις το μαλλί του αρνιού και μετά να δεις το αρνί χωρίς μαλλί και το μαλλί χωρίς το αρνί. Μπορείς με παρόμοιο τρόπο να ξεχωρίσεις το σχήμα του αγγείου από το ίδιο το αγγείο;
Ιπποκράτης: Σίγουρα όχι και τολμώ να πω ότι κανένας δεν μπορεί.
Σωκράτης: Και παρ’ όλα αυτά εξακολουθείς να πιστεύεις πως μπορείς να δεις ένα γεωμετρικό σχήμα;
Ιπποκράτης: Αρχίζω να αμφιβάλλω για αυτό.
Σωκράτης: Επίσης, αν οι μαθηματικοί μελετούσαν το σχήμα των αγγείων, δεν θα τους λέγαμε αγγειοπλάστες;
Ιπποκράτης: Σίγουρα.
Σωκράτης: Τότε αν ο Θεόδωρος είναι ο καλύτερος μαθηματικός, δεν θα ήταν και ο καλύτερος αγγειοπλάστης; Έχω ακούσει πολλούς να τον επαινούν αλλά κανένας δεν μου είπε ότι ξέρει και από αγγειοπλαστική. Αμφιβάλλω αν θα μπορούσε να φτιάξει ακόμα και το πιο απλό αγγείο. Ή μήπως οι μαθηματικοί ασχολούνται με το σχήμα των αγαλμάτων και των κτιρίων;
Ιπποκράτης: Αν ασχολούνταν, θα ήταν γλύπτες και αρχιτέκτονες.
Σωκράτης: Λοιπόν, φίλε μου, έχουμε φτάσει στο συμπέρασμα ότι οι μαθηματικοί όταν μελετούν γεωμετρία δεν ενδιαφέρονται για το σχήμα των πραγματικών αντικειμένων όπως τα αγγεία, αλλά για τα σχήματα που υπάρχουν μόνο στη σκέψη τους, σωστά;
Ιπποκράτης: Πρέπει να συμφωνήσω.
Σωκράτης: Έχοντας δεχτεί ότι οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται για πράγματα που δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα, αλλά μόνο στις σκέψεις τους, ας εξετάσουμε τη δήλωση του Θεαίτητου που ανέφερες, ότι δηλαδή τα μαθηματικά μας δίνουν πιο αξιόπιστη και πιο έμπιστη γνώση απ’ όση οποιοσδήποτε άλλος επιστημονικός κλάδος. Πες μου, σου έδωσε ο Θεαίτητος κανένα παράδειγμα;
Ιπποκράτης: Ναι, είπε ότι για παράδειγμα κανείς δεν μπορεί να ξέρει με ακρίβεια πόσο μακριά είναι η Αθήνα από τη Σπάρτη. Βέβαια, οι άνθρωποι που κάνουν αυτό το ταξίδι, συμφωνούν για τον αριθμό των ημερών που πρέπει να περπατήσει κάποιος, αλλά είναι αδύνατο να γνωρίζουν με ακρίβεια πόσα πόδια είναι η απόσταση. Από την άλλη μεριά όμως, μπορεί κάποιος να πει, με την βοήθεια του πυθαγόρειου θεωρήματος, ότι υπολογίζουμε τη διαγώνιο ενός τετραγώνου. Ο Θεαίτητος είπε επίσης, ότι είναι αδύνατο να δώσουμε τον ακριβή αριθμό των ανθρώπων που κατοικούν στην Ελλάδα. Αν κάποιος προσπαθούσε να τους μετρήσει όλους, ποτέ δεν θα είχε την ακριβή εικόνα, γιατί κατά τη διάρκεια της καταμέτρησης κάποιοι ηλικιωμένοι θα πέθαιναν και κάποια παιδιά θα γεννιόντουσαν. Έτσι, ο συνολικός αριθμός θα μπορούσε να είναι μόνο κατά προσέγγιση σωστός. Αλλά αν ρωτήσεις ένα μαθηματικό πόσες ακμές έχει ένα κανονικό δωδεκάεδρο, θα σου πει ότι το δωδεκάεδρο περιορίζεται από 12 έδρες, που η κάθε μία έχει 5 ακμές. Έτσι έχουμε 60 ακμές, αλλά επειδή κάθε ακμή ανήκει σε δύο έδρες και άρα τις έχουμε μετρήσει δύο φορές, ο αριθμός των ακμών του δωδεκάεδρου είναι ίσος με 30 και δεν χωράει αμφιβολία επ’ αυτού.
Σωκράτης: Ανέφερε κάποιο άλλο παράδειγμα;
Ιπποκράτης: Αρκετά, αλλά δεν τα θυμάμαι όλα. Είπε ότι στην πραγματικότητα ποτέ δεν βρίσκεις δύο πράγματα που να είναι ακριβώς τα ίδια. Ποτέ δύο αυγά δεν είναι ακριβώς τα ίδια, ακόμα και οι κολώνες του ναού του Ποσειδώνα είναι λίγο διαφορετικές η μία από την άλλη. Αλλά μπορεί κανείς να είναι σίγουρος ότι οι δύο διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ακριβώς ίσες. Ανέφερε τον Ηράκλειτο, ο οποίος έλεγε ότι κάθε τι που υπάρχει διαρκώς μεταβάλλεται και ότι σίγουρη γνώση είναι δυνατή μόνο για πράγματα που δεν αλλάζουν ποτέ, όπως πχ ο περιττός και ο άρτιος αριθμός, η ευθεία γραμμή και ο κύκλος.
Σωκράτης: Αυτά τα παραδείγματα με έπεισαν πως στα μαθηματικά μπορούμε να αποκτήσουμε γνώση που είναι αδιαμφισβήτητη, ενώ στις άλλες επιστήμες ή στην καθημερινή ζωή αυτό είναι αδύνατο. Ας προσπαθήσουμε να συνοψίσουμε το αποτέλεσμά μας για τη φύση των μαθηματικών. Είμαι σωστός αν πω πως φτάσαμε στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά μελετούν πράγματα που δεν υπάρχουν και είναι ικανά να βρουν όλη την αλήθεια για αυτά;
Ιπποκράτης: Ναι, αυτό το δεχτήκαμε.
Σωκράτης: Αλλά για πες μου, για όνομα του Δία, αγαπητέ μου Ιπποκράτη, δεν είναι μυστήριο κάποιος να μπορεί να ξέρει περισσότερα για πράγματα που δεν υπάρχουν απ’ ότι για πράγματα που υπάρχουν;
Ιπποκράτης: Αν το θέτεις έτσι, σίγουρα είναι ένα μυστήριο. Είμαι σίγουρος πως υπάρχει κάποιο λάθος στα επιχειρήματά μας.
Σωκράτης: Όχι, προχωρήσαμε με τη μέγιστη προσοχή και ελέγξαμε το κάθε βήμα της επιχειρηματολογίας μας. Δεν μπορεί να υπάρχει κανένα λάθος στο συλλογισμό μας. Αλλά άκου, θυμήθηκα κάτι που ίσως μας βοηθήσει να λύσουμε το αίνιγμα.
Ιπποκράτης: Πες μου γρήγορα, γιατί έχω αγωνία.
Σωκράτης: Σήμερα το πρωί ήμουν στο διάδρομο του σπιτιού του δεύτερου άρχοντα, όπου δίκαζαν τη γυναίκα ενός μαραγκού από το χωριό Πύθος, με την κατηγορία της προδοσίας, πως δηλαδή με τη βοήθεια του εραστή της σκότωσε τον άντρα της. Η γυναίκα διαμαρτυρόταν και ορκιζόταν στην Άρτεμη και στην Αφροδίτη πως είναι αθώα, πως ποτέ δεν αγάπησε άλλον εκτός από τον άντρα της και πως ο άντρας της δολοφονήθηκε από πειρατές. Καλέσανε πολλούς για μάρτυρες. Άλλοι είπαν ότι η γυναίκα ήταν ένοχη, άλλοι ότι ήταν αθώα. Ήταν αδύνατο να ανακαλύψεις τι πραγματικά είχε συμβεί.
Ιπποκράτης: Πάλι με κοροϊδεύεις; Πρώτα με μπέρδεψες εντελώς και τώρα αντί να με βοηθήσεις να βρω την αλήθεια μου λες τέτοιες ιστορίες.
Σωκράτης: Μη θυμώνεις φίλε μου, έχω σοβαρούς λόγους να σου μιλάω για αυτή τη γυναίκα της οποίας η ενοχή ήταν αδύνατο να εξακριβωθεί. Ένα πράγμα λοιπόν είναι βέβαιο. Η γυναίκα υπάρχει. Την είδα με τα μάτια μου, όπως και όλοι όσοι ήταν εκεί, πολλοί από τους οποίους ποτέ δεν έχουν πει ψέματα στη ζωή τους και που αν τους ρωτήσεις θα πάρεις την ίδια απάντηση.
Ιπποκράτης: Η μαρτυρία σου είναι επαρκής για μένα, αγαπητέ Σωκράτη. Ας δεχτούμε πως η γυναίκα υπάρχει. Πως αυτό έχει σχέση με τα μαθηματικά;
Σωκράτης: Περισσότερο απ’ όσο φαντάζεσαι. Αλλά πρώτα πες μου, ξέρεις την ιστορία του Αγαμέμνονα και της Κλυταιμνήστρας;
Ιπποκράτης: Ο καθένας ξέρει αυτή την ιστορία. Είδα την τριλογία του Αισχύλου στο θέατρο πέρσι.
Σωκράτης: Για πες μου την ιστορία με λίγες λέξεις.
Ιπποκράτης: Ενώ ο Αγαμέμνονας, ο βασιλιάς των Μυκηνών, πολεμούσε κάτω από τα τείχη της Τροίας, η γυναίκα του η Κλυταιμνήστρα διέπραξε μοιχεία με τον Αίγισθο, τον ξάδερφο του άντρα της. Μετά την πτώση της Τροίας, όταν ο Αγαμέμνονας γύρισε σπίτι, η γυναίκα του και ο εραστής της τον δολοφόνησαν.
Σωκράτης: Πες μου Ιπποκράτη, είναι αρκετά σίγουρο πως η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη;
Ιπποκράτης: Δεν καταλαβαίνω γιατί μου κάνεις τέτοιες ερωτήσεις. Δεν μπορεί να υπάρχει αμφιβολία σχετικά με την ιστορία. Σύμφωνα με τον Όμηρο, όταν ο Οδυσσέας επισκέφτηκε τον κάτω κόσμο συνάντησε τον Αγαμέμνονα, που του διηγήθηκε τη στενάχωρη μοίρα του.
Σωκράτης: Είσαι όμως σίγουρος ότι η Κλυταιμνήστρα, ο Αγαμέμνονας και όλοι οι άλλοι χαρακτήρες της ιστορίας υπήρξαν πραγματικά;
Ιπποκράτης: Ίσως να εξοστρακιζόμουν αν το έλεγα αυτό δημόσια, αλλά η γνώμη μου είναι πως είναι αδύνατο να αποδείξεις σήμερα, μετά από τόσους αιώνες, αν οι ιστορίες του Ομήρου είναι αληθείς ή όχι. Αλλά αυτό δεν έχει σημασία. Όταν σου είπα ότι η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη, δεν μιλούσα για την πραγματική Κλυταιμνήστρα – αν δεχτούμε ότι κάποτε έζησε τέτοιο πρόσωπο – αλλά για την Κλυταιμνήστρα της ομηρικής μας παράδοσης, δηλαδή την Κλυταιμνήστρα στην τριλογία του Αισχύλου.
Σωκράτης: Μήπως να πω ότι δεν ξέρουμε τίποτα για την πραγματική Κλυταιμνήστρα; Ακόμα και η ύπαρξή της είναι αβέβαιη, αλλά όσο για την Κλυταιμνήστρα που είναι χαρακτήρας στην τριλογία του Αισχύλου, είμαστε σίγουροι ότι ήταν ένοχη και ότι σκότωσε τον Αγαμέμνονα, αφού αυτό μας λέει ο Αισχύλος.
Ιπποκράτης: Ναι, φυσικά. Αλλά γιατί επιμένεις σε όλα αυτά;
Σωκράτης: Θα δεις σε λίγο. Άσε με να συνοψίσω τι ανακαλύψαμε. Στην περίπτωση της γυναίκας με σάρκα και οστά, που δικαζόταν σήμερα στην Αθήνα, είναι αδύνατο να αποδείξουμε ότι ήταν ένοχη, ενώ δεν μπορεί να υπάρχει αμφιβολία για την ενοχή της Κλυταιμνήστρας που είναι χαρακτήρας ενός έργου και η οποία, πιθανότατα, δεν υπήρξε ποτέ. Συμφωνείς;
Ιπποκράτης: Τώρα αρχίζω και καταλαβαίνω τι θες να πεις. Αλλά θα ήταν καλύτερο να έβγαζες τα συμπεράσματα μόνος σου.
Σωκράτης: Το συμπέρασμα είναι αυτό. Έχουμε πολύ πιο σίγουρη γνώση για πρόσωπα που υπήρξαν μόνο στη φαντασία μας, όπως για παράδειγμα χαρακτήρες σε ένα έργο, παρά για πραγματικούς ανθρώπους. Αν πούμε ότι η Κλυταιμνήστρα ήταν ένοχη, αυτό σημαίνει μόνο ότι έτσι τη φαντάστηκε ο Αισχύλος και την παρουσίασε στο έργο του. Η κατάσταση είναι ακριβώς ίδια τα μαθηματικά. Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες, γιατί αυτό προκύπτει από τον ορισμό του ορθογωνίου, όπως αυτός δίνεται από τους μαθηματικούς.
Ιπποκράτης: Εννοείς, Σωκράτη, ότι το παράδοξο αποτέλεσμά μας είναι πραγματικά αληθές και ότι κάποιος μπορεί να έχει πιο βέβαιη γνώση για πράγματα που δεν υπάρχουν, πχ για τα αντικείμενα των μαθηματικών, απ’ ότι για τα πραγματικά αντικείμενα της φύσης; Νομίζω ότι τώρα καταλαβαίνω την αιτία αυτού. Οι ιδέες που εμείς οι ίδιοι δημιουργούμε είναι από τη φύση τους εντελώς γνωστές σε εμάς και μπορούμε να ανακαλύψουμε όλη την αλήθεια για αυτές, διότι δεν έχουν καμία άλλη πραγματικότητα έξω από τη φαντασία μας. Όμως τα αντικείμενα που υπάρχουν στον πραγματικό κόσμο δεν είναι ταυτόσημα με την εικόνα μας για αυτά, η οποία είναι πάντα ελλειπής και προσεγγιστική. Για αυτό η γνώση μας για αυτά τα αληθινά πράγματα δεν μπορεί να είναι ποτέ πλήρης και αρκετά βέβαιη.
Σωκράτης: Αυτή είναι η αλήθεια νεαρέ μου φίλε και την έθεσες καλύτερα απ’ ότι εγώ θα μπορούσα.
Ιπποκράτης: Αυτό οφείλεται σε σένα Σωκράτη, γιατί εσύ με οδηγείς να καταλάβω αυτά τα πράγματα. Τώρα βλέπω όχι μόνο ότι ο Θεαίτητος είχε δίκιο που μου είπε ότι πρέπει να σπουδάσω μαθηματικά αν θέλω να αποκτήσω αλάνθαστη γνώση, αλλά και γιατί είχε δίκιο. Όμως, αν και με οδήγησες με υπομονή έως τώρα, μην με εγκαταλείψεις ακόμα, διότι από τις ερωτήσεις μου, στην πραγματικότητα η πιο σημαντική, είναι ακόμα αναπάντητη.
Σωκράτης: Ποια είναι αυτή η ερώτηση;
Ιπποκράτης: Σε παρακαλώ Σωκράτη θυμήσου ότι ήρθα να ζητήσω τη συμβουλή σου για το αν πρέπει να σπουδάσω μαθηματικά. Με βοήθησες να αντιληφθώ ότι τα μαθηματικά και μόνο τα μαθηματικά μπορούν να μου δώσουν το είδος της γνώσης που θέλω. Αλλά ποια είναι η χρησιμότητα αυτής της γνώσης; Είναι φανερό ότι αν κάποιος αποκτήσει κάποια γνώση για τον υπαρκτό κόσμο, έστω και αν αυτή η γνώση είναι ελλιπής και όχι αρκετά σίγουρη, είναι χρήσιμη και για το άτομο και για την πολιτεία. Αν κάποιος αποκτήσει γνώση για πράγματα όπως τα αστέρια, μπορεί να είναι χρήσιμη, για παράδειγμα για τη ναυσιπλοΐα μέσα στη νύχτα. Αλλά ποια είναι η χρησιμότητα της γνώσης για πράγματα μη υπαρκτά, σαν αυτά που προσφέρουν τα μαθηματικά; Ακόμη και αν είναι ξεκάθαρη και πέρα από κάθε αμφιβολία, ποια είναι η χρησιμότητα της γνώσης που αφορά πράγματα που δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα;
Σωκράτης: Αγαπητέ μου φίλε, είμαι αρκετά σίγουρος ότι ξέρεις την απάντηση και θες απλά να με εξετάσεις.
Ιπποκράτης: Μα τον Ηρακλή, δεν ξέρω την απάντηση. Σε παρακαλώ βοήθησέ με.
Σωκράτης: Εντάξει, ας προσπαθήσουμε να τη βρούμε. Έχουμε καταλήξει ότι οι ιδέες των μαθηματικών δημιουργούνται από τον ίδιο το μαθηματικό. Πες μου, αυτό σημαίνει ότι ο μαθηματικός επιλέγει τις ιδέες του αυθαίρετα, όπως του αρέσει;
Ιπποκράτης: Όπως σου είπα, δεν γνωρίζω ακόμα πολλά για τα μαθηματικά. Αλλά μου φαίνεται ότι ο μαθηματικός είναι ελεύθερος να επιλέξει το αντικείμενο της μελέτης του όπως ο ποιητής είναι ελεύθερος να επιλέξει τους χαρακτήρες του έργου του. Και όπως ο ποιητής δίνει σε αυτούς τα χαρακτηριστικά που του αρέσουν, έτσι μπορεί και ο μαθηματικός να προικίσει τις έννοιές του με εκείνες τις ιδιότητες που του αρέσουν.
Σωκράτης: Αν τα πράγματα ήταν έτσι, θα υπήρχαν τόσες μαθηματικές αλήθειες όσοι και οι μαθηματικοί. Πως εξηγείς λοιπόν, το ότι όλοι οι μαθηματικοί μελετούν τις ίδιες ιδέες και τα ίδια προβλήματα; Πως εξηγείς αυτό που συμβαίνει συχνά, μαθηματικοί που ζουν μακριά ο ένας από τον άλλο και δεν έχουν καμία επαφή, να ανακαλύπτουν ανεξάρτητα τις ίδιες αλήθειες; Ποτέ δεν άκουσα ότι δύο ποιητές έγραψαν το ίδιο ποίημα.
Ιπποκράτης: Ούτε εγώ έχω ακούσει κάτι τέτοιο. Αλλά θυμάμαι τον Θεαίτητο να μου λέει για ένα πολύ ενδιαφέρον θεώρημα που ανακάλυψε για τις ασύμμετρες αποστάσεις. Έδειξε τα αποτελέσματά του στο δάσκαλό του τον Θεόδωρο, ο οποίος του έδειξε ένα γράμμα από τον Αρχύτα, μέσα στο οποίο ήταν γραμμένο σχεδόν λέξη προς λέξη το ίδιο θεώρημα.
Σωκράτης: Στην ποίηση αυτό θα ήταν αδύνατο. Τώρα βλέπεις λοιπόν ότι υπάρχει ένα πρόβλημα. Ας συνεχίσουμε όμως. Πως εξηγείς το ότι μαθηματικοί από διαφορετικές χώρες συνήθως συμφωνούν για την αλήθεια, ενώ μπορεί να μη συμφωνούν για ζητήματα που αφορούν την πολιτεία, όπως πχ οι Πέρσες και οι Σπαρτιάτες που έχουν αρκετά αντίθετες απόψεις από εμάς στην Αθήνα και επίσης, όπως εμείς εδώ συχνά που δεν συμφωνούμε μεταξύ μας;
Ιπποκράτης: Μπορώ να απαντήσω την τελευταία ερώτηση. Σε υποθέσεις που αφορούν την πολιτεία ο καθένας ενδιαφέρεται με βάση το προσωπικό του συμφέρον και αυτά τα προσωπικά συμφέροντα συχνά βρίσκονται σε αντίθεση. Αυτός είναι ο λόγος που είναι δύσκολο να συμφωνήσουν. Ενώ ο μαθηματικός οδηγείται καθαρά από την επιθυμία του να βρει την αλήθεια.
Σωκράτης: Θέλεις να πεις πως οι μαθηματικοί προσπαθούν να βρουν μια αλήθεια που είναι τελείως ανεξάρτητη από το άτομό τους;
Ιπποκράτης: Ναι αυτό θέλω να πω.
Σωκράτης: Ναι αλλά τότε κάναμε λάθος όταν συμπεράναμε πως οι μαθηματικοί επιλέγουν τα αντικείμενα της μελέτης τους με δική τους επιθυμία. Φαίνεται ότι το αντικείμενο της μελέτης τους έχει κάποιο είδος ύπαρξης που είναι ανεξάρτητη από το άτομό τους. Πρέπει να λύσουμε αυτό το νέο αίνιγμα.
Ιπποκράτης: Δεν βλέπω από που να αρχίσω.
Σωκράτης: Αν εξακολουθείς να έχεις υπομονή, ας το προσπαθήσουμε μαζί. Πες μου, ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο ναυτικό που βρίσκει ένα ακατοίκητο νησί και στο ζωγράφο που βρίσκει ένα καινούριο χρώμα, το οποίο κανένας άλλος ζωγράφος δεν έχει χρησιμοποιήσει πριν από αυτόν;
Ιπποκράτης: Νομίζω πως ο ναυτικός μπορεί να αποκαλείται εξερευνητής και ο ζωγράφος εφευρέτης. Ο ναυτικός ανακαλύπτει ένα νησί που υπήρχε πριν από αυτόν, μόνο που ήταν άγνωστο, ενώ ο ζωγράφος εφευρίσκει ένα καινούργιο χρώμα, το οποίο πριν δεν υπήρχε καθόλου.
Σωκράτης: Κανείς δεν θα μπορούσε να απαντήσει αυτή την ερώτηση καλύτερα. Αλλά πες μου, ο μαθηματικός που βρίσκει μια νέα αλήθεια, την ανακαλύπτει ή την εφευρίσκει; Είναι εξερευνητής όπως ο ναυτικός ή εφευρέτης όπως ο ζωγράφος;
Ιπποκράτης: Μου φαίνεται πως ο μαθηματικός είναι περισσότερο εξερευνητής. Είναι ένας τολμηρός ναυτικός που ταξιδεύει στην άγνωστη θάλασσα της σκέψης και εξερευνά τις ακτές, τα νησιά και τις δίνες της.
Σωκράτης: Καλά το είπες και συμφωνώ απόλυτα μαζί σου. Θα πρόσθετα μόνο ότι σε μικρότερη έκταση και ο μαθηματικός είναι εφευρέτης, ειδικά όταν επινοεί νέες έννοιες. Αλλά κάθε ερευνητής πρέπει να είναι και σε ορισμένο βαθμό εφευρέτης. Για παράδειγμα, αν ένας ναυτικός θέλει να πάει σε μέρη που άλλοι ναυτικοί δεν μπόρεσαν να φτάσουν, πρέπει να φτιάξει ένα καράβι καλύτερο από εκείνα που χρησιμοποίησαν οι άλλοι. Οι νέες έννοιες που εφηύραν οι μαθηματικοί είναι σαν τα νέα πλοία που μεταφέρουν αυτόν που τις ανακαλύπτει πιο μακριά στη μεγάλη θάλασσα της σκέψης.
Ιπποκράτης: Αγαπητέ μου Σωκράτη, με βοήθησες να βρω την απάντηση στην ερώτηση που μου φαινόταν τόσο δύσκολη. Ο κύριος σκοπός του μαθηματικού είναι να εξερευνήσει τα μυστικά και τα αινίγματα της θάλασσας της ανθρώπινης σκέψης. Αυτά υπάρχουν ανεξάρτητα από το άτομο του μαθηματικού, αν και όχι από την ανθρωπότητα στο σύνολό της. Ο μαθηματικός έχει κάποια ελευθερία να εφευρίσκει νέες ιδέες ως εργαλεία και φαίνεται πως μπορεί να το κάνει μόνος του, χωρίς εξωτερική επιρροή. Ωστόσο, δεν είναι αρκετά ελεύθερος στο να το κάνει γιατί οι νέες ιδέες πρέπει να είναι χρήσιμες για τη δουλειά του. Ο ναυτικός μπορεί επίσης να φτιάξει οποιοδήποτε είδος πλοίου θέλει, αλλά θα ήταν τρελός να κατασκευάσει ένα πλοίο που θα διαλυόταν στην πρώτη θύελλα. Τώρα νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα.
Σωκράτης: Αν τα βλέπεις όλα καθαρά, προσπάθησε πάλι να απαντήσεις την ερώτηση. Ποιο είναι το αντικείμενο των μαθηματικών;
Ιπποκράτης: Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι εκτός από τον κόσμο στον οποίο ζούμε, υπάρχει και ένας άλλος κόσμος, ο κόσμος της ανθρώπινης σκέψης και ότι ο μαθηματικός είναι ο ατρόμητος ναυτικός που εξερευνά αυτόν τον κόσμο, χωρίς ποτέ να υποχωρεί μπροστά σε παγίδες, κινδύνους και περιπέτειες που τον περιμένουν.
Σωκράτης: Φίλε μου, η νεανική σου ορμή με συγκλονίζει. Φοβάμαι όμως πως στο φούντωμα του ενθουσιασμού σου παραβλέπεις μερικά ερωτήματα.
Ιπποκράτης: Ποια είναι αυτά;
Σωκράτης: Δεν θέλω να σε απογοητεύσω, αλλά αισθάνομαι πως η βασική σου ερώτηση δεν έχει απαντηθεί ακόμα. Δεν έχουμε απαντήσει ακόμα στην ερώτηση: Σε τι χρησιμεύει η εξερεύνηση της θαυμάσιας θάλασσας που είναι η ανθρώπινη σκέψη;
Ιπποκράτης: Έχεις δίκιο αγαπητέ μου Σωκράτη, όπως πάντα. Αλλά δεν θα αφήσεις στην άκρη αυτή τη φορά τη μέθοδό σου και να μου πεις κατευθείαν την απάντηση;
Σωκράτης: Όχι φίλε μου, ακόμα και αν μπορούσα δεν θα το έκανα και αυτό είναι για δικό σου όφελος. Η γνώση που αποκτά κάποιος χωρίς μόχθο είναι σχεδόν άχρηστη για αυτόν. Καταλαβαίνουμε εντελώς μόνο τη γνώση εκείνη που, ίσως με κάποια εξωτερική βοήθεια, ανακαλύπτουμε μόνοι μας, όπως ένα φυτό που μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο το νερό που απορροφά από το χώμα με τις δικές του ρίζες.
Ιπποκράτης: Εντάξει, ας συνεχίσουμε την αναζήτηση με την ίδια μέθοδο, αλλά τουλάχιστον βοήθησέ με με κάποια ερώτηση.
Σωκράτης: Ας γυρίσουμε πίσω στο σημείο που καταλήξαμε πριν, πως ο μαθηματικός δεν ασχολείται με τον αριθμό προβάτων, πλοίων ή άλλων υπαρκτών πραγμάτων, αλλά με τους ίδιους τους αριθμούς. Δεν νομίζεις, ωστόσο, ότι εκείνο που ανακαλύπτουν οι μαθηματικοί πως ισχύει για τους καθαρούς αριθμούς ισχύει και για τους αριθμούς των υπαρκτών πραγμάτων; Για παράδειγμα, ο μαθηματικός βρίσκει πως το 17 είναι ένας πρώτος αριθμός. Συνεπώς, δεν είναι αληθές ότι δεν μπορείς να μοιράσεις 17 ζωντανά πρόβατα σε μια ομάδα ανθρώπων, δίνοντας στον καθένα τον ίδιο αριθμό προβάτων, εκτός αν η ομάδα έχει 17 ανθρώπους;
Ιπποκράτης: Φυσικά, αλήθεια είναι.
Σωκράτης: Λοιπόν, τι γίνεται με τη γεωμετρία; Δεν μπορεί να εφαρμοστεί στο χτίσιμο των σπιτιών, στην κατασκευή αγγείων ή στον υπολογισμό του ποσού των σιτηρών που μπορεί να αντέξει ένα πλοίο;
Ιπποκράτης: Βέβαια, μπορεί να εφαρμοστεί, αν και μου φαίνεται ότι για τους πρακτικούς αυτούς λόγους του τεχνίτη δεν χρειάζονται τόσα μαθηματικά. Οι απλοί νόμοι, γνωστοί ήδη από τους γραφείς των φαραώ στην Αίγυπτο, είναι αρκετοί για τις περισσότερες περιπτώσεις και οι καινούριες ανακαλύψεις για τις οποίες μου μίλησε ο Θεαίτητος με μεγάλο ενθουσιασμό, ούτε χρησιμοποιήθηκαν ούτε χρειάστηκαν στην πράξη.
Σωκράτης: Ίσως όχι τώρα, αλλά πιθανώς να χρειαστούν στο μέλλον.
Ιπποκράτης: Με ενδιαφέρει το παρόν.
Σωκράτης: Αν θες να γίνεις μαθηματικός, πρέπει να καταλάβεις ότι θα δουλεύεις κυρίως για το μέλλον. Τώρα, ας επιστρέψουμε στη βασική ερώτηση. Είδαμε πως η γνώση για κάποιον άλλο κόσμο σκέψης, για πράγματα που δεν υπάρχουν με τη συνηθισμένη έννοια της λέξης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην καθημερινή ζωή για να απαντήσει σε ερωτήσεις για τον πραγματικό κόσμο. Δεν είναι εκπληκτικό;
Ιπποκράτης: Ακόμα περισσότερο, είναι ακατανόητο. Είναι πραγματικά ένα θαύμα.
Σωκράτης: Ίσως να μην είναι και τόσο μυστήριο, και αν ανοίξουμε το κέλυφος αυτής της ερώτησης, ίσως βρούμε ένα πραγματικό μαργαριτάρι.
Ιπποκράτης: Σε παρακαλώ, αγαπητέ μου Σωκράτη, μην μιλάς με γρίφους.
Σωκράτης: Πες μου τότε, εκπλήσσεσαι όταν κάποιος που έχει ταξιδέψει σε μακρινές χώρες, που έχει δει και έχει πείρα για πολλά πράγματα, επιστρέφει στην πόλη του και χρησιμοποιεί την πείρα του για να δίνει καλές συμβουλές στους συμπολίτες του;
Ιπποκράτης: Όχι, καθόλου.
Σωκράτης: Ακόμα και αν οι χώρες που ο ταξιδιώτης έχει επισκεφτεί βρίσκονται πολύ μακριά και κατοικούνται από ένα εντελώς διαφορετικό είδος ανθρώπων, που μιλούν διαφορετική γλώσσα και λατρεύουν διαφορετικούς θεούς;
Ιπποκράτης: Όχι, ακόμα και σε αυτή την περίπτωση, γιατί υπάρχουν πολλά κοινά ανάμεσα σε διαφορετικούς λαούς.
Σωκράτης: Τώρα πες μου, αν είχε αποδειχθεί ότι ο κόσμος των μαθηματικών είναι, παρά τις ιδιορρυθμίες του, με κάποιο τρόπο παρόμοιος με τον κόσμο στον οποίο ζούμε, […]
Ιπποκράτης: […], σχετικά με τον κόσμο της ανθρώπινης σκέψης, η ερώτηση απέμεινε ως προς τη χρήση αυτής της γνώσης. Τώρα έχουμε βρει πως ο κόσμος των μαθηματικών δεν είναι τίποτα άλλο παρά η αντανάκλαση του πραγματικού κόσμου στο μυαλό μας. Αυτό καθιστά σαφές πως κάθε ανακάλυψη για τον κόσμο των μαθηματικών μας δίνει μερικές πληροφορίες για τον πραγματικό κόσμο. Είμαι απόλυτα ικανοποιημένος με αυτή την απάντηση.
Σωκράτης: Αν σου πω ότι η απάντηση δεν είναι ακόμα πλήρης, δεν θα το κάνω επειδή θέλω να σε μπερδέψω, αλλά επειδή είμαι σίγουρος ότι αργά ή γρήγορα θα σου γεννηθεί η απορία και θα με κατακρίνεις που δεν έστρεψα την προσοχή σου σε αυτό. Θα έλεγες: «Πες μου Σωκράτη, τι νόημα έχει να μελετάμε την αντανακλώμενη εικόνα αν μπορούμε να μελετήσουμε το ίδιο το αντικείμενο;»
Ιπποκράτης: Έχεις απόλυτο δίκιο, είναι μια προφανής ερώτηση. Είσαι ένας μάγος Σωκράτη. Μπορείς να με μπερδέψεις τελείως με μερικές λέξεις και μπορείς να γκρεμίσεις με μία αθώα φαινομενικά ερώτηση όλο το οικοδόμημα που έχουμε χτίσει με τόσο κόπο. Θα απαντούσα, βέβαια, ότι αν έχουμε τη δυνατότητα να ρίξουμε μια ματιά στο αρχικό αντικείμενο, δεν έχει νόημα να κοιτάξουμε την αντανακλώμενη εικόνα. Αλλά είμαι σίγουρος πως αυτό δείχνει μόνο ότι η παρομοίωσή μας είναι άστοχη σε αυτό το σημείο. Φυσικά υπάρχει μια απάντηση, αλλά δεν ξέρω πως να τη βρω.
Σωκράτης: Μάντεψες σωστά ότι το παράδοξο εμφανίστηκε επειδή επιμείναμε πολύ στην παρομοίωση της αντανακλώμενης εικόνας. Μια παρομοίωση είναι σαν ένα τόξο, αν το τεντώσεις πάρα πολύ, σπάει. Ας την αφήσουμε και ας διαλέξουμε μια άλλη. Ξέρεις φυσικά ότι οι ταξιδιώτες και οι ναύτες χρησιμοποιούν πολύ τους χάρτες.
Ιπποκράτης: Το έχω βιώσει προσωπικά αυτό. Εννοείς ότι τα μαθηματικά μας δίνουν ένα χάρτη του πραγματικού κόσμου;
Σωκράτης: Ναι. Μπορείς τώρα να απαντησεις στην εξής ερώτηση: «Ποιο πλεονέκτημα θα υπήρχε αν κοιτάζαμε στο χάρτη αντί να κοιτάζουμε το τοπίο;»
Ιπποκράτης: Είναι ξεκάθαρο. Χρησιμοποιώντας το χάρτη, μπορούμε να εξετάσουμε προσεκτικά απέραντες αποστάσεις, που θα μπορούσαν να καλυφθούν μόνο ταξιδεύοντας πολλές εβδομάδες ή μήνες. Ο χάρτης δεν μας δείχνει κάθε λεπτομέρεια, αλλά μόνο τα σημαντικότερα στοιχεία. Για αυτό είναι χρήσιμος αν θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα μακρύ ταξίδι.
Σωκράτης: Πολύ καλά. Αλλά υπάρχει και κάτι άλλο που με προβληματίζει.
Ιπποκράτης: Ποιο είναι αυτό;
Σωκράτης: Υπάρχει και ένας άλλος λόγος για τον οποίο η μελέτη της μαθηματικής εικόνας του κόσμου ίσως είναι χρήσιμη. Αν οι μαθηματικοί ανακαλύψουν κάποια ιδιότητα του κύκλου, αυτό αμέσως μας δίνει μερικές πληροφορίες για οποιοδήποτε αντικείμενο κυκλικού σχήματος. Έτσι, η μέθοδος των μαθηματικών μας δίνει τη δυνατότητα να ασχοληθούμε με διαφορετικά πράγματα ταυτόχρονα.
Ιπποκράτης: Εσύ τι λες για τις παρακάτω παρομοιώσεις; Αν κάποιος κοιτάζει μια πόλη από την κορυφή ενός κοντινού βουνού, αποκτά πληρέστερη εικόνα απ’ ότι αν περπατάει μέσα στους δικτυωτούς δρόμους της; Ή αν ένας στρατηγός παρακολουθεί τις κινήσεις ενός εχθρικού στρατού από ένα λόφο, έχει πιο ξεκάθαρη εικόνα της κατάστασης απ’ ότι ένας στρατιώτης στην πρώτη γραμμή που βλέπει μόνο αυτούς που είναι ακριβώς απέναντί του;
Σωκράτης: Εντάξει, με ξεπερνάς στο να εφευρίσκεις νέες παρομοιώσεις, αλλά επειδή δεν θέλω να υστερήσω, άσε με να προσθέσω ακόμα μια παραβολή. Πρόσφατα είδα έναν πίνακα του Αριστοφώντα, γιου του Αγλαοφώντα, και ο ζωγράφος με προειδοποίησε. «Αν πας πολύ κοντά στην εικόνα, Σωκράτη, θα δεις μόνο χρωματισμένα στίγματα, αλλά δεν θα δεις ολόκληρη την εικόνα».
Ιπποκράτης: Βέβαια, είχε δίκιο, και είχες και εσύ, όταν δεν άφησες να τελειώσουμε τη συζήτησή μας πριν φτάσουμε στην καρδιά της ερώτησης. Αλλά νομίζω πως είναι ώρα να επιστρέψουμε στην πόλη, διότι οι σκιές της νύχτας πέφτουν και εγώ πεινάω και διψάω. Αν ακόμα έχεις λίγη υπομονή, θα ήθελα να σε ρωτήσω κάτι ακόμα όσο περπατάμε.
Σωκράτης: Εντάξει, ας ξεκινήσουμε και μπορείς να κάνεις την ερώτησή σου.
Ιπποκράτης: Η συζήτησή μας με έπεισε πλήρως ότι πρέπει να ξεκινήσω να σπουδάζω μαθηματικά και σου είμαι ευγνώμων για αυτό. Αλλά πες μου, γιατί δεν κάνεις εσύ ο ίδιος μαθηματικά; Κρίνοντας από τη βαθιά γνώση σου για την πραγματική φύση και τη σπουδαιότητα των μαθηματικών, μαντεύω πως θα ξεπερνούσες όλους τους μαθηματικούς της Ελλάδας, αν αποφάσιζες να επικεντρωθείς σε αυτό. Θα ήμουν ευτυχής αν σε ακολουθούσα ως μαθητής σου στα μαθηματικά, αν με δεχόσουν.
Σωκράτης: Όχι, αγαπητέ μου Ιπποκράτη, αυτό δεν είναι δουλειά μου. Ο Θεόδωρος ξέρει πολύ περισσότερα για τα μαθηματικά από εμένα και δεν μπορείς να βρεις καλύτερο δάσκαλο από αυτόν. Σχετικά με την ερώτησή σου γιατί δεν είμαι μαθηματικός, θα σου πω τους λόγους. Δεν κρύβω τη μεγάλη μου εκτίμηση για τα μαθηματικά. Δεν νομίζω πως εμείς οι Έλληνες έχουμε κάνει σε άλλη τέχνη τόσο σημαντική πρόοδο όσο στα μαθηματικά και αυτό είναι μόνο η αρχή. Αν δεν εξοντώσουμε ο ένας τον άλλο σε ανόητους πολέμους, μπορούμε να πετύχουμε θαυμάσια αποτελέσματα, τόσο ως ερευνητές όσο και ως εφευρέτες. Με ρώτησες γιατί δεν προσχωρώ στις τάξεις εκείνων που εξελίσσουν αυτή τη μεγάλη επιστήμη. Στην πραγματικότητα, είμαι ένα είδος μαθηματικού, αλλά με διαφορετικό τρόπο. Μια εσωτερική φωνή, που μπορείς να την πεις μαντείο και την οποία ακούω πάντα προσεκτικά, με ρώτησε πριν πολλά χρόνια «Ποια είναι η πηγή των μεγάλων προόδων που οι μαθηματικοί έχουν κάνει στην ευγενή τους επιστήμη;». Απάντησα «Νομίζω πως η πηγή της επιτυχίας των μαθηματικών βρίσκεται στις μεθόδους τους, στα υψηλά επίπεδα της λογικής τους, στον αγώνα τους χωρίς κανένα συμβιβασμό για την πλήρη αλήθεια, στη συνήθειά τους να ξεκινούν πάντα από θεμελιώδεις αρχές, στο να ορίζουν με ακρίβεια κάθε έννοια που χρησιμοποιούν και στο να αποφεύγουν τις εσωτερικές αντιφάσεις. Η εσωτερική μου φωνή απάντησε «Πολύ καλά, αλλά γιατί πιστεύεις, Σωκράτη, πως αυτός ο τρόπος σκέψης και συζήτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για τη μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων; Γιατί δεν προσπαθείς να πείσεις τους συμπολίτες σου να εφαρμόσουν τους ίδιους υψηλούς λογικούς κανόνες σε κάθε άλλο τομέα, για παράδειγμα στη φιλοσοφία και στην πολιτική, στη συζήτηση των προβλημάτων της καθημερινής ιδιωτικής και δημόσιας ζωής;» Από τότε, αυτός είναι ο στόχος μου. Έχω αποδείξει (θυμάσαι για παράδειγμα, τη συζήτησή μας με τον Πρωταγόρα) ότι εκείνοι που τους νομίζουν σοφούς είναι οι πιο αμαθείς ανόητοι. Όλη η επιχειρηματολογία τους στερείται σταθερής θεμελίωσης, αφού χρησιμοποιούν – σε αντίθεση με τους μαθηματικούς – αόριστες και μόνο μισοκατανοημένες έννοιες. Με αυτή μου τη δράση έχω καταφέρει να τους κάνω σχεδόν όλους εχθρούς μου. Αυτό δεν είναι έκπληξη, διότι για όλους τους ανθρώπους που είναι νωθροί στη σκέψη και από τεμπελιά τους αρέσει να χρησιμοποιούν σκοτεινούς όρους, είμαι μια ζωντανή επίπληξη. Στους ανθρώπους δεν αρέσουν αυτοί που συνεχώς τους θυμίζουν τα λάθη τους, τα οποία είναι ανίκανοι ή απρόθυμοι να διορθώσουν. Θα έρθει η μέρα που αυτοί οι άνθρωποι θα πέσουν πάνω μου και θα με εξολοθρεύσουν. Αλλά μέχρι να έρθει αυτή η μέρα, θα συνεχίσω να ακούω το κάλεσμά μου. Εσύ, ωστόσο, πήγαινε στο Θεόδωρο.
Alfred Renyi
*Στις 29 Αυγούστου 1963 στο Edmonton του Καναδά έγινε η κοινή ετήσια Συνεδρίαση της Αμερικανικής και της Καναδικής Ένωσης Φυσικών. Στην συνεδρίαση αυτή ο μεγάλος Ούγγρος μαθηματικός Alfred Renyi προσκλήθηκε να δώσει μια ομιλία για την φύση των μαθηματικών.
Πρωτοτύπησε παρουσιάζοντας την ομιλία του με την μορφή ενός (υποθετικού) Σωκρατικού Διαλόγου. Έκτοτε η ομιλία του Renyi θεωρείται πλέον “κλασική”.
(Μετάφραση Ιωάννης Π. Ζώης)
via
[full_width]
