Δύο επιστήμονες απέδειξαν με τη βοήθεια ενός υπολογιστή ένα θεώρημα αναφορικά με την ύπαρξη του Θεού, που πίστευε ακράδαντα ο μαθηματικός Kurt Gödel.
Ωστόσο, αυτό που είναι πραγματικά εντυπωσιακό, δεν είναι τόσο η άποψή τους για την ύπαρξη ή όχι του Θεού, αλλά για το πώς οι υπολογιστές κάνουν απλούστερη την επιστημονική πρόοδο, αναφέρει σε άρθρο του στο Spiegel ο David Knight.
«Επιστήμονες αποδεικνύουν την ύπαρξη του Θεού». Ο τίτλος στη γερμανική εφημερίδα «Die Welt» ήταν πολύ πιασάρικος, σχολιάζει ο αρθρογράφος.
Ωστόσο, υπάρχει κάτι άλλο πίσω από αυτόν τον ισχυρισμό, προσθέτει.
Στην πραγματικότητα, αυτό που απέδειξαν οι επιστήμονες ήταν ένα θεώρημα που είχε αναπτύξει ο διάσημος αυστριακός, μαθηματικός Kurt Gödel.
Η πραγματική είδηση δεν αφορά «το υπέρτατο ον», αλλά αυτό που μπορεί να καταφέρει κανείς σε διάφορους τομείς της επιστήμης με τη χρήση της εξελιγμένης τεχνολογίας.
Όταν πέθανε ο Gödel το 1978 άφησε πίσω του μια «σκανδαλιστική» θεωρία, η οποία βασιζόταν στις αρχές της τροπικής λογικής, και η οποία υποστήριζε ότι πρέπει να υπάρχει κάποιο ανώτερο ον.
Ωστόσο, αυτό που είναι πραγματικά εντυπωσιακό, δεν είναι τόσο η άποψή τους για την ύπαρξη ή όχι του Θεού, αλλά για το πώς οι υπολογιστές κάνουν απλούστερη την επιστημονική πρόοδο, αναφέρει σε άρθρο του στο Spiegel ο David Knight.
«Επιστήμονες αποδεικνύουν την ύπαρξη του Θεού». Ο τίτλος στη γερμανική εφημερίδα «Die Welt» ήταν πολύ πιασάρικος, σχολιάζει ο αρθρογράφος.
Ωστόσο, υπάρχει κάτι άλλο πίσω από αυτόν τον ισχυρισμό, προσθέτει.
Στην πραγματικότητα, αυτό που απέδειξαν οι επιστήμονες ήταν ένα θεώρημα που είχε αναπτύξει ο διάσημος αυστριακός, μαθηματικός Kurt Gödel.
Η πραγματική είδηση δεν αφορά «το υπέρτατο ον», αλλά αυτό που μπορεί να καταφέρει κανείς σε διάφορους τομείς της επιστήμης με τη χρήση της εξελιγμένης τεχνολογίας.
Όταν πέθανε ο Gödel το 1978 άφησε πίσω του μια «σκανδαλιστική» θεωρία, η οποία βασιζόταν στις αρχές της τροπικής λογικής, και η οποία υποστήριζε ότι πρέπει να υπάρχει κάποιο ανώτερο ον.
 |
Οι μαθηματικές πράξεις που χρησιμοποίησε ο Gödel στην οντολογική απόδειξή του για την ύπαρξη του Θεού ήταν περίπλοκες, ωστόσο η ουσία αυτών που υποστήριζε ήταν ότι «ο Θεός υπάρχει».
Δεν ήταν φυσικά ο πρώτος που ισχυρίστηκε και προσπάθησε να αποδείξει κάτι τέτοιο. Επί αιώνες, πολλοί προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν την αφηρημένη σκέψη για να αποδείξουν την πιθανότητα ή αναγκαιότητα ύπαρξης του Θεού.
Όμως το μαθηματικό μοντέλο που ανέπτυξε ο Gödel πρότεινε και μια απόδειξη για την ιδέα αυτή. Τα θεωρήματα και τα αξιώματά του –παραδοχές που δεν μπορούν να αποδειχθούν- εκφράζονται ως μαθηματικές εξισώσεις. Και αυτό σημαίνει ότι μπορούν να αποδειχθούν.
Η απόδειξη της ύπαρξης του Θεού με ένα MacBook
Κι εδώ είναι που υπεισέρχονται οι επιστήμονες Christoph Benzmüller από το Ελεύθερο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και ο Bruno Woltzenlogel Paleo από το Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης.
Χρησιμοποιώντας ένα συνηθισμένο MacBook απέδειξαν, ότι η... απόδειξη του Gödel ήταν σωστή – τουλάχιστον σε μαθηματικό επίπεδο – μέσω ανώτερης τροπικής λογικής.
Ο τίτλος της έρευνάς τους ήταν ο εξής: «Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence».
«Το γεγονός ότι η επισημοποίηση τέτοιων σύνθετων θεωρημάτων μπορεί να γίνει με τη χρήση υπολογιστών, ανοίγει ένα ευρύ τομέα δυνατοτήτων» είπε στο Spiegel Online ο Benzmüller.
«Είναι συγκλονιστικό το γεγονός ότι από τον ισχυρισμό του Gödel, όλα αυτά μπορούν να αποδειχθούν αυτόματα, μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα με τη βοήθεια ενός απλού notebook» πρόσθεσε.
Κι ενώ το όνομα Gödel μπορεί να μη λέει πολλά στους πολλούς, ο αυστριακός μαθηματικός είναι πολύ «διάσημος» στους κύκλους των επιστημόνων, και απολαμβάνει φήμη ισάξια εκείνης του Albert Einstein, με τον οποίο μάλιστα ήταν στενοί φίλοι.
«Δεν περίμενα να προκαλούσε τόσο πολύ το ενδιαφέρον του κοινού, όμως η οντολογική απόδειξη του Gödel ήταν ένα πολύ καλύτερο παράδειγμα, από κάτι απρόσιτο στα μαθηματικά ή την τεχνητή νοημοσύνη» είπε ακόμη και συνέχισε: «Θα υπάρχουν κι άλλα πράγματ απου χρησιμοποιούν παρόμοια λογική. Μπορούμε άραγε να αναπτύξουμε συστήματα πληροφορικής, που να ελέγχουν κάθε ξεχωριστό βήμα και να είμαστε σίγουροι ότι είναι σωστά;».
«Μια φιλόδοξη εκφραστική λογική»
Οι δύο επιστήμονες πιστεύουν ότι η εργασία τους μπορεί να έχει πολλές πρακτικές εφαρμογές σε τομείς, όπως η τεχνητή νοημοσύνη και η επαλήθευση software και hardware.
Ο Benzmüller τόνισε ακόμη ότι υπάρχουν πολλοί επιστήμονες, οι οποίες μελετούν παρόμοιους τομείς.
Ο ίδιος εμπνεύστηκε και αποφάσισε να ασχοληθεί με το ζήτημα αυτό από ένα βιβλίο του Melvin Fitting με τίτλο «Types, Tableaus and Gödel's God».
Η χρήση υπολογιστών για τη διευκόλυνση των μαθηματικών δεν είναι καινούρια, παρότι δεν είναι ευπρόσδεκτη από όλους τους τομείς.
Ο αμερικανός μαθηματικός Doron Zeilberger χρησιμοποιεί το όνομα Shalosh B. Ekhad στα επιστημονικά έγγραφά του και τις δημοσιεύσεις του από τη δεκαετία του 1980. Σύμφωνα με το ίδρυμα Simons Foundation, χρησιμοποιεί το ψευδώνυμο αυτό για τους υπολογιστές που χρησιμοποιεί προκειμένου να αποδεικνύει θεωρήματα σε ελάχιστο χρόνο, που διαφορετικά απαιτούσαν πολλούς μαθηματικούς συλλογισμούς από σελίδα σε σελίδα.
Ο Zeilberger είχε πει ότι χρησιμοποιεί ένα «ανθρώπινο όνομα» για τον υπολογιστή, «για να δηλώσει ότι πρέπει να αναγνωρίζεται και η συμβολή των υπολογιστων». «Η ανθρωποκεντρική μισαλλοδοξία στο χώρο των μαθηματικών, δεν έχει βοηθήσει και πολύ στην πρόοδο» είπε ακόμη.
Σε τελική ανάλυση, καταλήγει το δημοσίευμα, η επισημοποίηση της οντολογικής απόδειξης του Gödel είναι απίθανο να αναγνωριστεί από τους άθεους, ούτε θεωρείται πιθανό ότι θα προσφέρει παρηγοριά στους θρησκευόμενους, οι οποίοι άλλωστε υποστηρίζουν ότι η ιδέα μιας ανώτερης δύναμης αψηφά τη λογική εξ ορισμού.
Για τους μαθηματικούς όμως που αναζητούν τρόπους για ανοίξουν «νέους ορίζοντες», η είδηση θα μπορούσε να αποτελέσει μια... απάντηση στις προσευχές τους.
Στα μαθηματικά υπάρχει Θεός
Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή
Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί τους φιλοσόφους και τους θεολόγους εδώ και δεκάδες αιώνες. Ξαφνικά πριν από λίγους μήνες εμφανίστηκε η είδηση ότι δύο ευρωπαίοι μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και τη σχετική θεωρία του αυστριακού μαθηματικού Κουρτ Γκέντελ, κατάφεραν να αποδείξουν μαθηματικά την ύπαρξη του Θεού! Το τι ακριβώς απέδειξαν και με ποιον τρόπο σχετίζεται άμεσα με την κατανόηση της Μαθηματικής Λογικής και των κανόνων που τη διέπουν.
Το θεώρημα του Θεού
Λίγο πριν από τον θάνατό του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια. Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.
Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα σημεία. Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; Για το πρώτο δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί να φαίνονται «λογικά» αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει αν τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. Το δεύτερο όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια επειδή έπρεπε να αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα είναι αυτοσυνεπή.
Το κατόρθωμα των δύο ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ(Christoph Benzmüller) και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.
Ιδέα με αρχαίες βάσεις
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από το καθαρά μαθηματικό μέρος, η βάση της απόδειξης του Γκέντελ περί της υπάρξεως του Θεού δεν ήταν εντελώς καινούργια αφού έμοιαζε με το επιχείρημα του άγγλου θεολόγου και φιλοσόφου του 11ου αιώνα Ανσέλμου του Καντέρμπουρι, το οποίο, με τη σειρά του, βασίζεται στη μέθοδο της «εις άτοπον απαγωγής» των αρχαίων ελλήνων φιλοσόφων και μαθηματικών. Ο συλλογισμός του Ανσέλμου ήταν ο εξής:
1. Ο Θεός είναι η υπέρτατη ύπαρξη.
2. Η ιδέα του Θεού υπάρχει στη σκέψη μας.
3. Μια ύπαρξη που υπάρχει τόσο στη σκέψη όσο και στην πραγματικότητα είναι ανώτερη από μια ύπαρξη που υπάρχει μόνο στη σκέψη.
4. Αν ο Θεός υπήρχε μόνο στη σκέψη μας, τότε θα μπορούσαμε να συλλάβουμε την ιδέα μιας ανώτερης ύπαρξης η οποία υπάρχει και στην πραγματικότητα.
5. Αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια ύπαρξη ανώτερη από τον Θεό.
6. Αρα ο Θεός υπάρχει στην πραγματικότητα.
Η βασική συνεισφορά του Γκέντελ ήταν η μαθηματική περιγραφή του παραπάνω συλλογισμού και ειδικά των σημείων 3 και 4. Εκεί χρησιμοποίησε την έννοια της πιθανής αλήθειας μιας πρότασης, η οποία επεκτείνει την αριστοτελική λογική που δέχεται ότι μια πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής.
1+1 κάνουν 2;
Ο Γκέντελ έγινε διάσημος σε νεαρή ηλικία όταν διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι, στο πλαίσιο της «Απλής Αριθμητικής» των ακεραίων αριθμών, η οποία βασίζεται σε αξιώματα όπως το γνωστό «1+1=2», υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να διαπιστώσουμε αν αληθεύουν ή όχι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα αυτά. Οι προτάσεις αυτές χαρακτηρίζονται από μια αυτοαναφορά και το πιο γνωστό ανάλογό τους στο πλαίσιο της απλής λογικής είναι το παράδοξο του αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ευβουλίδη, σύμφωνα με το οποίο «αν κάποιος παραδεχθεί ότι ψεύδεται, αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα;». Η πρόταση αυτή οδηγεί σε φαύλο κύκλο, αφού αν η πρόταση είναι αληθής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας ψεύδεται ενώ αν η πρόταση είναι ψευδής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας λέει την αλήθεια. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ είχε σοβαρότατες συνέπειες στη θεμελίωση των Μαθηματικών με βάση την αξιωματική μέθοδο, η οποία στη δεκαετία του 1920 φαινόταν ότι θα κατάφερνε να ενοποιήσει όλους τους κλάδους αυτής της επιστήμης σε ένα ενιαίο οικοδόμημα. Παράλληλα όμως υπήρξε ο λόγος που του προσφέρθηκε το 1940 μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον, όπου και παρέμεινε ως καθηγητής ως τον θάνατό του το 1978. Η συνεισφορά του Γκέντελ στη θεμελίωση της Μαθηματικής Λογικής αναγνωρίστηκε επανειλημμένως, με σημαντικότερο κατά τη γνώμη μου το βραβείο Αϊνστάιν του Ινστιτούτου που του απονεμήθηκε το 1951 από τον ίδιο τον Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν συνάδελφός του σε αυτό το ίδρυμα και στενός φίλος του.
Οι συνθήκες θανάτου του Γκέντελ ήταν πολύ ασυνήθιστες και αποτέλεσαν την έμπνευση για το θεατρικό έργο «Δέκατη έβδομη νύχτα» του Απόστολου Δοξιάδη. Ο Γκέντελ έπασχε από έλκος του δωδεκαδακτύλου και ακολουθούσε, με δική του πρωτοβουλία, μια πολύ αυστηρή δίαιτα. Σιγά-σιγά άρχισε να πιστεύει ότι τον δηλητηριάζουν και κατέληξε να αρνείται να φάει το φαγητό του. Το αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, θα έλεγε κανείς, αποτέλεσε το κορυφαίο λογικό παράδοξο υλοποιημένο - και όχι διατυπωμένο - από τον θεμελιωτή της Μαθηματικής Λογικής. Αν δεν έτρωγε, ήταν σίγουρο ότι ο Γκέντελ θα πέθαινε από ασιτία. Αν έτρωγε ίσως να πέθαινε από δηλητηρίαση - αλλά και ίσως όχι. Ο Γκέντελ, πέρα από κάθε λογική, διάλεξε ενσυνείδητα την πρώτη επιλογή - και πέθανε από ασιτία.
Ο κ. Χάρης Βάρβογλης είναι καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ.
