Διαγράφοντας μια πορεία συνυφασμένη με την ανθρώπινη εξέλιξη, τα μαθηματικά πάντα ήταν σε θέση να προσφέρουν τροφή για σκέψη ακόμα και σε όσους δεν είχαν άμεση επαφή μαζί τους. Κάθε αυστηρά ορισμένη μαθηματική έννοια που φαίνεται απρόσιτη ανάμεσα στους περίεργους συμβολισμούς, γίνεται αμέσως πιο ενδιαφέρουσα όταν εμπλακεί η φιλοσοφία για να της δώσει μια πιο... γλυκιά όψη. Αυτός είναι και ο μοναδικός τρόπος ώστε η μαθηματική λογική να γίνει αντιληπτή χωρίς να απαιτούνται μαθηματικές γνώσεις.
Ο μαθηματικός Γκέοργκ Κάντορ που κατάφερε να μετρήσει το άπειρο και... κατέληξε σε ψυχιατρείο
Το άπειρο ορίζεται σαν ένα όριο στο οποίο τείνουμε συνεχώς να φτάσουμε που όσο το πλησιάζουμε τόσο ”απομακρύνεται”.
Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη υπάρχουνε δύο είδη απείρων, το εν δυνάμει και το εν ενεργεία. Το εν δυνάμει άπειρον είναι μια διανοητική κατασκευή, χρήσιμο για την επίλυση ορισμένων μαθηματικών προβλημάτων. Το εν ενεργεία άπειρον είναι ένα άπειρο που υπάρχει πραγματικά. Κατα την διάρκεια του μεσαίωνα ο όρος του απείρου χρησιμοποιήθηκε ως επί των πλείστων για θεολογικές συζητήσεις απο φιλόσοφους όπως ο Spinoza, ο Descartes κ.α. Εκείνος όμως που προσδιόρισε με μαθηματική πληρότητα την έννοια και τις ιδιότητες του απείρου ήταν ο Georg Cantor(1845-1918).
Φιλοσοφία και μαθηματικά δημιούργησαν από πολύ νωρίς σχέσεις αλληλεξάρτησης. Ο βασικός παράγοντας για να αρχίσει αυτή η... σύμπλευση των επιστημών βρισκόταν κρυμμένος πίσω από την πιο μυστηριώδη έννοια των μαθηματικών, το άπειρο. Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι φιλόσοφοι δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την αφηρημένη έννοια του απείρου. Το... πλαγιαστό οχτάρι εμφανιζόταν σαν θεϊκό σύμβολο στα τετράδια των επιστημόνων, εκφράζοντας την έννοια του αμέτρητου, του άπιαστου, ίσως και του ανεξήγητου.
Ο Ρώσος μαθηματικός, η Θεωρία Συνόλων και οι πρωτοποριακές ιδέες του
Παρόλο που η έννοια του υπήρχε από αρχαιότατα χρόνια, η συντριπτική πλειοψηφία των μαθηματικών επέλεγε να μην ασχοληθεί αναλυτικά με την εξήγηση του απείρου.
Λιγό μετά τα μέσα του 19ου αιώνα, ένας παράτολμος Ρώσος αποφάσισε να εστιάσει τις έρευνες του γύρω από την σημασία του απείρου, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό. Κάποια χρόνια μετά, οι προσπάθειες του Γκέοργκ Κάντορ στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Το άπειρο δεν αποτελούσε πλέον τον «δαίμονα» των μαθηματικών, είχε όμως καταφέρει να εισβάλει τόσο βαθειά στην σκέψη του, ώστε ο Ρώσος μαθηματικός να χάσει... την λογική του.
Στην προσπάθεια του να διασαφηνίσει την έννοια του απείρου, ο Κάντορ δημιούργησε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών, την Θεωρία Συνόλων. Η έννοια του συνόλου υπήρχε από παλαιότερα στα μαθηματικά, όμως το περιεχόμενο ενός συνόλου δεν θα μπορούσε παρά να είναι πεπερασμένο σε πλήθος. Ο Ρώσος μαθηματικός δημιούργησε σύνολα που περιείχαν άπειρα στοιχεία και εργάστηκε πολλά χρόνια ώστε να ολοκληρώσει την θεωρία του.
Η μεγάλη ανακάλυψη του Κάντορ – Οι δύο όψεις του... απείρου
Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του ο Κάντορ επιχείρησε να διαμελίσει την έννοια του απείρου, μετρώντας τα στοιχεία του. Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας. Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,...) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο. Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο. Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό. Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο. Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Η «πάλη» του Κάντορ με το άπειρο - Ο πρώτος σαφής χαρακτηρισμός του
Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει. Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από... μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες. Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.
Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη. Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό. Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο. Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.
Οι επιρροές του μαθηματικού από την φιλοσοφία – Η κατάληξη του παράτολμου επιστήμονα
Ο Κάντορ κατάφερε να κινηθεί πρώτος σε μαθηματικά... μονοπάτια που δεν είχαν ανακαλυφθεί. Χρησιμοποίησε έννοιες που θεωρούνταν «απαγορευμένες» στην τότε μαθηματική κοινότητα, προκαλώντας μάλιστα αρκετές αντιδράσεις. Τα ερεθίσματα που τον οδήγησαν στις απίθανες ανακαλύψεις του, προέρχονταν από τον χώρο της φιλοσοφίας. Η έννοια του απείρου, όταν αναφερόταν στα λόγια κάποιου φιλόσοφου, ακουγόταν πολύ πιο φιλική στα αυτιά του Ρώσου μαθηματικού.
Τα θεωρητικά λόγια που άκουγε και διάβαζε σε βιβλία γύρω από την έννοια του απείρου, του έδωσαν το έναυσμα για την αρχή των ερευνών του. Ωστόσο η αφοσίωση του πάνω σε ένα τόσο λεπτό ζήτημα τον οδήγησε, ευτυχώς μετά από τις ανακαλύψεις του, στο ψυχιατρείο. Ο Ρώσος μαθηματικός άρχισε να χάνει την λογική του, έπεσε σε πολύ βαθειά κατάθλιψη και έχασε κάθε επαφή με τον έξω κόσμο όταν εισήχθη σε νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Η περίπτωση του πασίγνωστου Ρώσου μαθηματικού έρχεται να αποδείξει για άλλη μια φορά πως τα μαθηματικά δεν είναι... απολύτως ασφαλής ενασχόληση. Ο μυστηριώδης κόσμος των μαθηματικών μπορεί να μετατραπεί σε παγίδα για όποιον επιλέξει να εισχωρήσει βαθειά μέσα του. Αυτό που μένει να δούμε, είναι πότε θα βρεθεί ο επόμενος... τολμηρός που θα προσπαθήσει να δώσει στο άπειρο έναν επιπλέον χαρακτηρισμό.
Σε μια ακολουθία - συνόλου απείρων, δεν γνωρίζουμε αν και πως τελειώνει, ούτε γνωρίζουμε αν ανάμεσα σε δύο σύνολα απείρων εμφιλοχωρούν και κρύβονται άλλα άπειρα. Ο ίδιος ο Cantor σε ένα γράμμα που είχε αποστείλει για τα αποτελέσματα τις δουλειάς του, είπε χαρακτηριστικά. «Το βλέπω αλλά δεν το πιστεύω.»
