Δεν είναι τυχαίο πως ένας από τους ελάχιστους κορυφαίους φιλοσόφους ο Πλωτίνος, που, πηγαίνοντας κόντρα στην παράδοση, αποδέχτηκε την ενεργό πραγματικότητα του απείρου. Ένας φιλόσοφος, δηλαδή, ο οποίος, στο πλαίσιο του μυστικιστικού περιβάλλοντος της «εποχής της αγωνίας», που αντιπροσώπευε η ύστερη αρχαιότητα, συνέδεσε τη «σκέψη για το άπειρο» με τη «σκέψη για το Θεό» διατυπώνοντας μια αντιστοιχία ανάμεσα στον Θεό, το Εν, και στο άφατο άπειρο. Και «ισχυρίστηκε ότι αν το Εν δεν είναι άπειρο, τότε θα έπρεπε να υπάρχει κάτι πέρα από αυτό, ιδέα που τη θεωρούσε απαράδεκτη»
Εκεί που δεν σταματάει ο νους του ανθρώπου
Τα βάσανα των ανθρώπων με το Άπειρο είχαν αρχίσει από τότε ακόμη που οι Πυθαγόρειοι θέλησαν να υπολογίσουν το μήκος της τρίτης πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου που οι πλευρές του είναι ίσες με τη μονάδα, γιατί έβγαινε να είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του 2, έναν αριθμό με άπειρα δεκαδικά ψηφία. Και εκεί κοντά είχαμε και τον Ζήνωνα τον Ελεάτη, στα μέσα του 5ου αι. π.X., να προσπαθεί να αποδείξει ότι η αίσθηση της κίνησης που είχαν οι άνθρωποι ήταν κάτι το αντιφατικό και τελικά κάτι το μη πραγματικό. «Πείθοντας τον κόσμο για το εξωπραγματικό της κίνησης, μπορώ να διδάξω τα δόγματα του Παρμενίδη και τελικά να δυσφημήσω τον κόσμο των αισθήσεων» πίστευε ο Ζήνων. Κέρδισε μάλιστα την αθανασία διατυπώνοντας μεταξύ άλλων δύο «παράδοξα» που η απάντηση σε αυτά απασχόλησε μέσα στους αιώνες διανοουμένους όπως ο Θωμάς Ακινάτος, ο Καρτέσιος, ο Λάιμπνιτς, ο Σπινόζα, ο Μπερξόν.
1ο Παράδοξο (της Διχοτομίας): Ενα κινούμενο αντικείμενο προτού φθάσει στον προορισμό του πρέπει να διανύσει τη μισή απόσταση και πιο πριν το ένα τέταρτο της απόστασης, ακόμη πιο πριν το ένα όγδοο της απόστασης και ούτω καθ' εξής. Εφόσον ο χώρος είναι διαιρετός επ' άπειρον η διαδικασία αυτή δεν θα τελειώσει ποτέ, άρα και το βέλος δεν πρόκειται να φθάσει στον προορισμό του.
2ο Παράδοξο (του Αχιλλέα): Ο ωκύπους Αχιλλέας, που τρέχει απόσταση 10 σταδίων το λεπτό, αν τοποθετήσουμε μία χελώνα 10 στάδια πιο μπροστά του και ξεκινήσουν μαζί, δεν θα φθάσει όσο και αν προσπαθήσει την αργή χελώνα, έστω και αν αυτή διανύει μόλις 1 στάδιο το λεπτό. Διότι όταν ο Αχιλλέας θα έχει καλύψει τα 10 στάδια, η χελώνα θα είναι 1 στάδιο πιο μπροστά και όταν ο Αχιλλέας προχωρήσει ακόμη ένα στάδιο η χελώνα θα είναι και πάλι πιο μπροστά, έστω και πιο λίγο από πριν, μία κατάσταση που θα διαρκεί επ' άπειρον.
Η μετρησιμότητα είναι μια αυστηρά καθορισμένη μαθηματική έννοια. Υπάρχει ένα μέτρο στη γραμμή πραγματικού αριθμού που λέει, χωρίς έκπληξη, ότι το μέτρο του συνόλου των πραγματικών αριθμών μεταξύ μηδέν και ένα είναι το μήκος αυτής της γραμμής, δηλαδή μια μονάδα. Σημειώστε ότι ένα άπειρο σύνολο έχει ένα πεπερασμένο μέτρο. Με αυτή την έννοια το "άπειρο" είναι εξ ολοκλήρου "μετρήσιμο". Σε κοινή ομιλία, όμως, ποιος ξέρει τι σημαίνει " Το άπειρο είναι ανυπολόγιστο "; Η απλούστερη προσέγγιση όταν κάποιος αναφέρει το "άπειρο" είναι να ρωτήσει "ποιο άπειρο;" Αν το άτομο δεν μπορεί να απαντήσει σε αυτή την ερώτηση, θα ξέρετε ότι χρησιμοποιούν κάποιο διαισθητικό άπειρο που είναι πιθανώς ασαφές, ασυμβίβαστο και αντιφατικό. Αν σας ρωτήσουν τι εννοείτε, μπορείτε τουλάχιστον να τους προσφέρετε την επιλογή ανάμεσα σε ένα μετρήσιμο και αμέτρητο άπειρο ...
Και στις δύο περιπτώσεις το ζήτημα είναι αν θα μπορέσει να περάσει κάτι από έναν άπειρο αριθμό θέσεων μέσα σε πεπερασμένο χρόνο. Από τον 5ο αι. π.X. χρειάστηκε να φθάσουμε στο 1882 για να εμφανιστεί από τον Κάντορ μια ριζική αντιμετώπιση του προβλήματος με το Απειρο. Μην προσπαθείτε να αριθμήσετε τα σημεία από όπου θα περάσει το βέλος, είπε ο Κάντορ. Και γενικότερα, όταν έχουμε δύο σύνολα, για να τα συγκρίνουμε, όσα στοιχεία και αν ανήκουν σε αυτά, αρκεί να βρούμε μία αντιστοιχία των μελών τους ένα προς ένα. Θεωρώντας το σύνολο των φυσικών αριθμών και το σύνολο των διπλασίων τους ο Κάντορ μάς προτρέπει να κάνουμε την αντιστοιχία:
για να καταλήξουμε έτσι ότι είναι ισοδύναμα και όχι το ένα «ίσο με το μισό του άλλου». Αντίθετα λοιπόν με τη διαίσθησή μας, όταν ανοίξουμε την πόρτα και βρεθούμε στην επικράτεια των συνόλων με άπειρα μέλη, εκεί ομιλείται μια διαφορετική γλώσσα, ισχύουν άλλοι νόμοι και πράγματα αδύνατα για τα πεπερασμένα σύνολα της καθημερινής ζωής είναι εφικτά για τα απειροσύνολα! H προσπάθεια να συγκρίνουμε απειροσύνολα μεταξύ τους χρησιμοποιώντας το κριτήριο ότι το ένα αποτελεί μέρος του άλλου είναι καταδικασμένη σε αποτυχία εκ των προτέρων. Αν όμως δούμε τα πράγματα με άλλα μάτια, όπως έγραψε και ο διάσημος μαθηματικός Χίλμπερτ αρκετά χρόνια αργότερα: «κανείς δεν θα μας εξορίσει από τον παράδεισο που ο Κάντορ έφτιαξε για εμάς». Είναι άλλωστε γνωστό και το Ξενοδοχείο του Hilbert, που διαθέτει άπειρα δωμάτια, και έτσι ακόμη και όταν είναι γεμάτο πάλι γίνεται να βολευτούν και άλλοι πελάτες!
Ο μαθηματικός που μέτρησε το άπειρο και... κατέληξε σε ψυχιατρείο
Διαγράφοντας μια πορεία συνυφασμένη με την ανθρώπινη εξέλιξη, τα μαθηματικά πάντα ήταν σε θέση να προσφέρουν τροφή για σκέψη ακόμα και σε όσους δεν είχαν άμεση επαφή μαζί τους. Κάθε αυστηρά ορισμένη μαθηματική έννοια που φαίνεται απρόσιτη ανάμεσα στους περίεργους συμβολισμούς, γίνεται αμέσως πιο ενδιαφέρουσα όταν εμπλακεί η φιλοσοφία για να της δώσει μια πιο... γλυκιά όψη. Αυτός είναι και ο μοναδικός τρόπος ώστε η μαθηματική λογική να γίνει αντιληπτή χωρίς να απαιτούνται μαθηματικές γνώσεις.
Φιλοσοφία και μαθηματικά δημιούργησαν από πολύ νωρίς σχέσεις αλληλεξάρτησης. Ο βασικός παράγοντας για να αρχίσει αυτή η... σύμπλευση των επιστημών βρισκόταν κρυμμένος πίσω από την πιο μυστηριώδη έννοια των μαθηματικών, το άπειρο. Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι φιλόσοφοι δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την αφηρημένη έννοια του απείρου. Το... πλαγιαστό οχτάρι εμφανιζόταν σαν θεϊκό σύμβολο στα τετράδια των επιστημόνων, εκφράζοντας την έννοια του αμέτρητου, του άπιαστου, ίσως και του ανεξήγητου.
Ο Ρώσος μαθηματικός, η Θεωρία Συνόλων και οι πρωτοποριακές ιδέες του
Παρόλο που η έννοια του υπήρχε από αρχαιότατα χρόνια, η συντριπτική πλειοψηφία των μαθηματικών επέλεγε να μην ασχοληθεί αναλυτικά με την εξήγηση του απείρου. Λιγό μετά τα μέσα του 19ου αιώνα, ένας παράτολμος Ρώσος αποφάσισε να εστιάσει τις έρευνες του γύρω από την σημασία του απείρου, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό. Κάποια χρόνια μετά, οι προσπάθειες του Γκέοργκ Κάντορ στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Το άπειρο δεν αποτελούσε πλέον τον «δαίμονα» των μαθηματικών, είχε όμως καταφέρει να εισβάλει τόσο βαθειά στην σκέψη του, ώστε ο Ρώσος μαθηματικός να χάσει... την λογική του.
Στην προσπάθεια του να διασαφηνίσει την έννοια του απείρου, ο Κάντορ δημιούργησε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών, την Θεωρία Συνόλων. Η έννοια του συνόλου υπήρχε από παλαιότερα στα μαθηματικά, όμως το περιεχόμενο ενός συνόλου δεν θα μπορούσε παρά να είναι πεπερασμένο σε πλήθος. Ο Ρώσος μαθηματικός δημιούργησε σύνολα που περιείχαν άπειρα στοιχεία και εργάστηκε πολλά χρόνια ώστε να ολοκληρώσει την θεωρία του.
Η μεγάλη ανακάλυψη του Κάντορ – Οι δύο όψεις του... απείρου
Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του ο Κάντορ επιχείρησε να διαμελίσει την έννοια του απείρου, μετρώντας τα στοιχεία του. Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας. Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,...) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο. Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4,...) υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο. Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό. Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο. Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 3/2,...) .
Η «πάλη» του Κάντορ με το άπειρο - Ο πρώτος σαφής χαρακτηρισμός του
Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει. Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από... μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες. Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.
Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη. Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό. Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο. Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.
Οι επιρροές του μαθηματικού από την φιλοσοφία – Η κατάληξη του παράτολμου επιστήμονα
Ο Κάντορ κατάφερε να κινηθεί πρώτος σε μαθηματικά... μονοπάτια που δεν είχαν ανακαλυφθεί. Χρησιμοποίησε έννοιες που θεωρούνταν «απαγορευμένες» στην τότε μαθηματική κοινότητα, προκαλώντας μάλιστα αρκετές αντιδράσεις. Τα ερεθίσματα που τον οδήγησαν στις απίθανες ανακαλύψεις του, προέρχονταν από τον χώρο της φιλοσοφίας. Η έννοια του απείρου, όταν αναφερόταν στα λόγια κάποιου φιλόσοφου, ακουγόταν πολύ πιο φιλική στα αυτιά του Ρώσου μαθηματικού.
Τα θεωρητικά λόγια που άκουγε και διάβαζε σε βιβλία γύρω από την έννοια του απείρου, του έδωσαν το έναυσμα για την αρχή των ερευνών του. Ωστόσο η αφοσίωση του πάνω σε ένα τόσο λεπτό ζήτημα τον οδήγησε, ευτυχώς μετά από τις ανακαλύψεις του, στο ψυχιατρείο. Ο Ρώσος μαθηματικός άρχισε να χάνει την λογική του, έπεσε σε πολύ βαθειά κατάθλιψη και έχασε κάθε επαφή με τον έξω κόσμο όταν εισήχθη σε νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Η περίπτωση του πασίγνωστου Ρώσου μαθηματικού έρχεται να αποδείξει για άλλη μια φορά πως τα μαθηματικά δεν είναι... απολύτως ασφαλής ενασχόληση. Ο μυστηριώδης κόσμος των μαθηματικών μπορεί να μετατραπεί σε παγίδα για όποιον επιλέξει να εισχωρήσει βαθειά μέσα του. Αυτό που μένει να δούμε, είναι πότε θα βρεθεί ο επόμενος... τολμηρός που θα προσπαθήσει να δώσει στο άπειρο έναν επιπλέον χαρακτηρισμό.
Το παράδειγμα της ζωής του Γκέοργκ Κάντορ μας δείχνει ότι όταν τα Μαθηματικά είναι ελεύθερα και συνδεδεμένα με τις ανησυχίες και τους γενικότερους προβληματισμούς του ανθρώπου, άσχετα με το όποιο τίμημα, αποδίδουν καρπούς και προχωράνε την επιστήμη και τη σκέψη !
Στο Grundlagen γράφει :
"Εξ αιτίας αυτής της ιδιόμορφης θέσης που διακρίνει τα Μαθηματικά από τις άλλες επιστήμες και που είναι μια εξήγηση για τον χαλαρό και ελεύθερο τρόπο που ακολουθούν αυτά, αξίζουν το όνομα Ελεύθερα Μαθηματικά, μια ονομασία που αν είχα την επιλογή θα την προτιμούσα από την έκφραση: Καθαρά Μαθηματικά.
Περίπου στο τέλος της καριέρας του, όσο ήταν ακόμη διαυγής, ασχολήθηκε με τη θεολογία αλλά και με την ιστορία.
Προσπάθησε να εφαρμόσει τη θεωρία των διατακτικών αριθμών στη προσπάθεια σύλληψης της ιδέας του Θεού!
Αφού απόλυτο άπειρο δεν υπήρχε, δεν ήταν δυνατόν να εξακριβωθεί η ουσία του Θεού, όπως και το σύνολο των σκέψεων του Θεού ήταν άπειρο....
Ο Gurbelet που τον εκτιμούσε πολύ, χρησιμοποίησε τη θεωρία του Κάντορ για να θεμελιώσει κάποια επιχειρήματα ύπαρξης του Θεού
