ΑΠ’ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΣΤΗΛΕΣ ΤΩΝ ΕΦΗΜΕΡΙΔΩΝ, η στήλη του περιοδικού Parade “Ask Marilyn” (“Ρωτήστε τη Μαίριλυν”) θα πρέπει σίγουρα να θεωρηθεί τρομερά επιτυχημένη. Το περιοδικό διανέμεται μαζί με 350 εφημερίδες και υπερηφανεύεται ότι η κυκλοφορία του αγγίζει συνολικά τα 36 εκατομμύρια αντίτυπα. Η συγκεκριμένη στήλη ερωταποκρίσεων ξεκίνησε το 1986 και εξακολουθεί να είναι δημοφιλής.
Ίσως αναρωτιέστε, ειδικά αν έχετε κάποιες γνώσεις μαθηματικών και θετικών επιστημών, “Ποια είναι τέλος πάντων αυτή η γκουρού η Μαίριλυν;”.
Η Μαίριλυν είναι η Μαίριλυν βος Σάβαντ, διάσημη επειδή περιλαμβανόταν για χρόνια στο βιβλίο των Ρεκόρ Γκίνες όντας το πρόσωπο με τον υψηλότερο καταγεγραμμένο δείκτη νοημοσύνης
παγκοσμίως (IQ 228). Είναι επίσης γνωστή ως σύζυγος του Ρόμπερτ Τζάρβικ, εφευρέτη της τεχνικής καρδιάς που φέρει το όνομά του.
Η Μαίριλυν είναι διάσημη πρωτίστως για την απάντηση που έδωσε στην ακόλουθη ερώτηση, η οποία δημοσιεύθηκε στη στήλη της μια Κυριακή του Σεπτέμβρη του 1990 (έχουμε παραλλάξει ελαφρώς τη διατύπωση):
Ας υποθέσουμε ότι οι παίκτες ενός τηλεπαιχνιδιού έχουν να επιλέξουν ανάμεσα σε τρεις πόρτες: πίσω από τη μια πόρτα υπάρχει ένα αυτοκίνητο, ενώ πίσω από τις άλλες δύο κρύβεται μια κατσίκα.
Όταν ο παίκτης επιλέγει μια πόρτα, ο παρουσιαστής, που γνωρίζει τι κρύβεται πίσω από κάθε πόρτα, ανοίγει μια από τις πόρτες που δεν έχουν επιλεγεί και εμφανίζεται μια κατσίκα. Στη συνέχεια λέει στον παίκτη: “Μήπως θέλετε να επιλέξετε την άλλη κλειστή πόρτα;”
Συμφέρει τον παίκτη να αλλάξει την αρχική του επιλογή;
Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι "Let’s make a deal" στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα.
Όμως αν κάποιος "χτυπήσει" στο google το όνομα Monty Hall δεν θα έχει αποτέλεσμα τον παρουσιαστή αλλά ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της επιστήμης των πιθανοτήτων.
Με το πρόβλημα αυτό η Μαίριλυν κέρδισε μια θέση στην ιστορία λόγω της σφοδρότητας με την οποία αντέδρασαν οι αναγνώστες της Μαίριλυν βος Σάβαντ στη στήλη της.
Σε τελική ανάλυση, η ερώτηση φαίνεται αρκετά χαζή.
Υπάρχουν δυο πόρτες· ανοίγουμε τη μια και κερδίζουμε, ανοίγουμε την άλλη και χάνουμε. Φαίνεται λοιπόν αυτονόητο ότι είτε αλλάξουμε την αρχική μας επιλογή είτε όχι, η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 50/50.
Τι πιο απλό;
Εντούτοις, σύμφωνα με όσα έγραψε η Μαίριλυν στη στήλη της, μας συμφέρει να αλλάξουμε την αρχική μας επιλογή.
Αυτό που συνήθως παραβλέπεται είναι ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα
α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και
β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.
Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε πράγματι οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.
Παρά την απάθεια του κοινού όταν πρόκειται για ζητήματα μαθηματικών – για την οποία έχουν ειπωθεί πολλά – οι αναγνώστες της Μαίριλυν αντέδρασαν σαν να είχε υποστηρίξει να εκχωρηθεί η Καλιφόρνια ξανά στο Μεξικό. Η άρνησή της να αποδεχθεί το προφανές προκάλεσε έναν καταιγισμό από επιστολές – περί τις 10.000, σύμφωνα με την εκτίμηση της ίδιας.
Σε αυτό το θέμα, οι Αμερικανοί ήταν ενωμένοι: σε ποσοστό 92% συμφώνησαν ότι η Μαίριλυν είχε άδικο.
Πολλοί αναγνώστες ένιωσαν προδομένοι. Πως είναι δυνατόν ένα άτομο που εμπιστεύονταν σε ένα τόσο ευρύ φάσμα θεμάτων να μπερδεύτηκε με να τόσο απλό ερώτημα;
Μήπως το σφάλμα της συμβόλιζε τη θλιβερή αμάθεια του αμερικάνικου λαού;
Η Μαίριλυν έλαβε επιστολές από σχεδόν 1000 διδάκτορες, πολλοί από τους οποίους ήταν καθηγητές μαθηματικών, που έδειχναν ιδιαίτερα εξοργισμένοι.
“Τα κάνατε θάλασσα”, της έγραψε ένας μαθηματικός από το Πανεπιστήμιο Τζωρτζ Μέισον:
Επιτρέψτε μου να σας εξηγήσω: αν δειχθεί ότι μια πόρτα δεν είναι η σωστή, αυτή η πληροφορία μετατρέπει την πιθανότητα καθεμίας από τις δύο επιλογές που απομένουν – καμιά από τις οποίες δεν έχει λόγους να είναι πιο πιθανή από την άλλη – σε 1/2.
Ως επαγγελματίας μαθηματικός, ανησυχώ ιδιαίτερα για τις ελλιπείς μαθηματικές δεξιότητες του κοινού. Σας παρακαλώ να βοηθήσετε να βελτιωθεί η κατάσταση ομολογώντας το λάθος σας και όντας πιο προσεκτική στο μέλλον.
Από το Πολιτειακό Πανεπιστήμιο του Ντίκινσον ήρθε η ακόλουθη επιστολή:
“Έχω πάθει σοκ που, ενώ σας έχουν διορθώσει τουλάχιστον τρεις μαθηματικοί, εξακολουθείτε να μην αντιλαμβάνεστε το λάθος σας”.
Από το Τζωρτζτάουν:
“Πόσοι εξοργισμένοι μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξετε γνώμη;”
Και κάποιος από το Ινστιτούτο Ερευνών του Αμερικάνικου Στρατού έκανε την εξής παρατήρηση:
“Αν όλοι αυτοί οι διδάκτορες έκαναν λάθος, η χώρα θα είχε σοβαρό πρόβλημα”.
Οι αντιδράσεις συνεχίστηκαν για τόσο μεγάλο χρονικό διάστημα και ήταν τόσο πολλές που η Μαίριλυν, αφού αφιέρωσε αρκετό χώρο στη στήλη της για το θέμα αυτό, αποφάσισε να μην ασχοληθεί ξανά μαζί του.
Η άποψη του διδάκτορα του στρατιωτικού ινστιτούτου, ότι αν όλοι αυτοί οι διδάκτορες έκαναν λάθος αυτό θα ήταν σοβαρή ένδειξη προβλήματος, ίσως να ήταν σωστή.
Ωστόσο, η Μαίριλυν είχε δίκιο.
Όταν αναφέρθηκε αυτό στον Πωλ Έρντος, έναν από τους κορυφαίους μαθηματικούς του 20ού αιώνα, η απάντησή του ήταν: “Αυτό είναι αδύνατον”. Στην συνέχεια, όταν του έδειξαν την τυπική μαθηματική απόδειξη της ορθής απάντησης, εκείνος συνέχισε να δυσπιστεί και άρχισε να εκνευρίζεται.
Μόνο όταν ένας συνάδελφός του ετοίμασε μια προσομοίωση σε ηλεκτρονικό υπολογιστή και ο Έρντος παρακολούθησε εκατοντάδες δοκιμές που απέβαιναν με συχνότητα 2 προς 1 υπέρ της αλλαγής παραδέχτηκε ότι είχε άδικο.
Πως είναι δυνατόν κάτι που μοιάζει τόσο προφανές να είναι λάθος;
Όπως το διατύπωσε ένας καθηγητής του Χάρβαρντ με ειδίκευση στις πιθανότητες και τη στατιστική:
“Ο εγκέφαλός μας δεν είναι προγραμματισμένος έτσι ώστε να αντιμετωπίζει πολύ καλά τα προβλήματα πιθανοτήτων”.
Ωστόσο, το πρόβλημα είναι από αυτά που μπορούν να λυθούν χωρίς εξειδικευμένες μαθηματικές γνώσεις. Δεν χρειαζόμαστε απειροστικό λογισμό, γεωμετρία, άλγεβρα.
Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι μια στοιχειώδης κατανόηση του πως λειτουργούν οι πιθανότητες και ο νόμος του δειγματικού χώρου, αυτό το πλαίσιο ανάλυσης καταστάσεων όπου υπεισέρχεται η τύχη, το οποίο περιέγραψε πρώτος ο Τζερόλαμο Καρντάνο το 16ο αιώνα.
Στο πρόβλημα βρίσκεστε μπροστά σε τρεις πόρτες: πίσω από τη μια πόρτα υπάρχει ένα αντικείμενο μεγάλης αξίας, για παράδειγμα μια αστραφτερή κόκκινη Μαζεράτι. Πίσω από τις δύο άλλες πόρτες βρίσκεται κάτι όχι και τόσο ενδιαφέρον, ας πούμε τα άπαντα του Σαίξπηρ στα σερβικά. Έχετε επιλέξει την πόρτα 1. Ο δειγματικός χώρος στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η παρακάτω λίστα, η οποία περιλαμβάνει τρεις δυνατές εκβάσεις:
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 1.
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 2.
Η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από την πόρτα 3.
Καθένα από τα τρία αυτά ενδεχόμενα έχει πιθανότητα 1 στις 3. Λογικά, οι περισσότεροι άνθρωποι προτιμούν τη Μαζεράτι, επομένως στην πρώτη περίπτωση κερδίζετε, και η πιθανότητα να έχετε μαντέψει σωστά είναι 1 στις 3.
Στη συνέχεια, σύμφωνα με το πρόβλημα, ο παρουσιαστής, ο οποίος γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από όλες τις πόρτες, ανοίγει μια από αυτές που δεν επιλέξατε, πίσω από την οποία αποκαλύπτεται μια από τις συλλογές με τα άπαντα του Σαίξπηρ. Ο παρουσιαστής ανοίγει τη συγκεκριμένη πόρτα χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που γνωρίζει έτσι ώστε να μην αποκαλύψει τη Μαζεράτι – συνεπώς, δεν πρόκειται για μια εντελώς τυχαία διεργασία. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις που πρέπει να εξετάσουμε.
Η μια είναι η περίπτωση όπου η αρχική σας επιλογή ήταν σωστή. Ας ονομάσουμε αυτό το σενάριο “τυχερή μαντεψιά” ή απλά “ευτυχές” σενάριο. Σε αυτή την περίπτωση, ο τηλεπαρουσιαστής θα ανοίξει στην τύχη την πόρτα 2 ή την πόρτα 3 και, αν επιλέξετε να αλλάξετε πόρτα, αντί για μια γρήγορη και συναρπαστική βόλτα με τη Μαζεράτι θα βρεθείτε να είστε κάτοχος της τραγωδίας Τρωίλος και Χρυσηίδα στην τορλακική διάλεκτο. Συνεπώς, στο ευτυχές σενάριο σας συμφέρει να μην αλλάξετε την αρχική σας επιλογή – μην ξεχνάτε όμως ότι η πιθανότητα αυτού του σεναρίου είναι μόνο 1 στις 3.
Η άλλη περίπτωση που πρέπει να εξετάσουμε είναι αυτή όπου η αρχική σας επιλογή ήταν λάθος.
Ας ονομάσουμε αυτό το σενάριο “λανθασμένη μαντεψιά” ή απλά “ατυχές σενάριο”. Η πιθανότητα να έχετε κάνει λάθος επιλογή είναι 2 στις 3, συνεπώς το ατυχές σενάριο έχει διπλάσια πιθανότητα να συμβεί σε σχέση με το ευτυχές.
Σε τι διαφέρει το ατυχές σενάριο από το ευτυχές;
Στο ατυχές σενάριο η Μαζεράτι βρίσκεται πίσω από μια πόρτα την οποία δεν επιλέξατε, ενώ πίσω από την άλλη πόρτα που δεν επιλέξατε βρίσκεται η σερβική έκδοση του Σαίξπηρ.
Σε αντίθεση με το ευτυχές σενάριο, τώρα ο τηλεπαρουσιαστής δεν ανοίγει τυχαία μια από τις πόρτες που δεν έχουν επιλεγεί. Αφού δεν θέλει να αποκαλύψει την Μαζεράτι, επιλέγει να ανοίξει την πόρτα που δεν έχει πίσω της το αυτοκίνητο. Με άλλα λόγια, στο ατυχές σενάριο ο τηλεπαρουσιαστής παρεμβαίνει σε αυτό που μέχρι στιγμής ήταν μια τυχαία διαδικασία.
Συνεπώς η διαδικασία δεν είναι πια τυχαία: ο τηλεπαρουσιαστής χρησιμοποιεί την γνώση του για να επηρεάσει το αποτέλεσμα και παραβιάζει την τυχαιότητα διασφαλίζοντας ότι, αν αλλάξετε την επιλογή σας, θα πάρετε το λαμπερό κόκκινο αυτοκίνητο. Εξαιτίας αυτής παρέμβασης, αν βρεθείτε στην περίπτωση του ατυχούς σεναρίου, θα κερδίσετε αν αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και θα χάσετε αν δεν το κάνετε.
Ας συνοψίσουμε: αν βρίσκεστε στο ευτυχές σενάριο (πιθανότητα 1 στις 3), θα κερδίσετε αν μείνετε σταθερός στην αρχική σας επιλογή. Αν βρίσκεστε στο ατυχές σενάριο (πιθανότητα 2 στις 3), λόγω των ενεργειών του τηλεπαρουσιαστή, θα κερδίσετε αν αλλάξετε την αρχική σας επιλογή.
Συνεπώς, για να πάρετε μια απόφαση πρέπει ουσιαστικά να μαντέψετε το εξής: σε ποιο σενάριο βρίσκεστε;
Αν έχετε την αίσθηση ότι η αρχική σας επιλογή καθοδηγήθηκε από εξωαισθητηριακή αντίληψη ή από τη μοίρα, ίσως δεν πρέπει να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή. Όμως η πιθανότητα να βρίσκεστε στο ατυχές σενάριο σε σχέση με το ευτυχές είναι 2 προς 1, συνεπώς σας συμφέρει να αλλάξετε – εκτός εάν έχετε την ικανότητα να λυγίζετε ασημένια κουταλάκια σε σχήμα κουλουριού χρησιμοποιώντας τα εγκεφαλικά σας κύματα,
Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και από τα στατιστικά στοιχεία που έχουν προκύψει από την ίδια την τηλεοπτική εκπομπή: αυτοί που βρίσκονταν στην κατάσταση που περιγράφεται σε αυτό το πρόβλημα και άλλαζαν την αρχική τους επιλογή κέρδιζαν δύο φορές συχνότερα από εκείνους που δεν άλλαζαν.
Το συμπέρασμα αυτό επιβεβαιώνεται και από τα στατιστικά στοιχεία που έχουν προκύψει από την ίδια την τηλεοπτική εκπομπή: αυτοί που βρίσκονταν στην κατάσταση που περιγράφεται σε αυτό το πρόβλημα και άλλαζαν την αρχική τους επιλογή κέρδιζαν δύο φορές συχνότερα από εκείνους που δεν άλλαζαν.
Το πρόβλημα είναι αρκετά δυσνόητο διότι, αν δεν το σκεφτείτε με προσοχή, δεν μπορείτε να εκτιμήσετε τον ρόλο του τηλεπαρουσιαστή, όπως δεν εκτιμάτε και τον ρόλο της μαμάς σας.
Όμως ο τηλεπαρουσιαστής είναι αυτός που καθορίζει την πορεία του παιχνιδιού.
Ο ρόλος του θα γίνει περισσότερο εμφανής αν υποθέσουμε ότι αντί για 3 πόρτες υπάρχουν 100. Εσείς επιλέγετε και πάλι τη πόρτα 1, αλλά αυτή τη φορά η πιθανότητα να έχετε επιλέξει τη σωστή πόρτα είναι 1 στις 100. Εν τω μεταξύ, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από μια από τις άλλες πόρτες είναι 99 στις 100.
Όπως και πριν, ο τηλεπαρουσιαστής ανοίγει όλες τις πόρτες που δεν επιλέξατε εκτός από μία, φροντίζοντας πάντα να μην ανοίξει εκείνη που κρύβει τη Μαζεράτι, αν είναι μια από τις μη επιλεγμένες. Αφού τελειώσει, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από την πόρτα που επιλέξατε εξακολουθεί να είναι 1 στις 100, και η πιθανότητα να βρίσκεται σε μια από τις άλλες πόρτες είναι και πάλι 99 στις 100.
Όμως τώρα, λόγω της παρέμβασης του τηλεπαρουσιαστή, έχει απομείνει μια μόνο πόρτα που αντιπροσωπεύει αυτές τις άλλες 99 πόρτες. Συνεπώς, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από αυτή την πόρτα που απέμεινε είναι 99 στις 100!
Όμως τώρα, λόγω της παρέμβασης του τηλεπαρουσιαστή, έχει απομείνει μια μόνο πόρτα που αντιπροσωπεύει αυτές τις άλλες 99 πόρτες. Συνεπώς, η πιθανότητα να βρίσκεται η Μαζεράτι πίσω από αυτή την πόρτα που απέμεινε είναι 99 στις 100!
Το συγκεκριμένο πρόβλημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά (με άλλη ονομασία) μόλις το 1959, σ’ ένα άρθρο που δημοσίευσε ο Μάρτιν Γκάρντνερ στο Scientific American.
Ο Γκάρντνερ είχε γράψει πως πρόκειται για “ένα μικρό προβληματάκι που μας μπερδεύει υπέροχα”, επισημαίνοντας ότι “σε κανέναν άλλο κλάδο των μαθηματικών δεν είναι τόσο εύκολο να κάνουν γκάφες οι ειδικοί όσο στη θεωρία των πιθανοτήτων”
ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΟΥ
ΜΕΘΥΣΜΕΝΟΥ
(Πως η τυχαιότητα κυβερνά τη ζωή μας)
LEONARD MLODINOW
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
ΚΡΗΤΗΣ SCI – CLOPEDIA
